Reele Funktion

13.06.2005, 14:56

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Reele Funktion

Hey, vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe einen Tipp geben und behilflich sein, ich kann damit nämlich nicht viel anfangen, vielleicht kann mir auch jemand erklären, was diese doppel-Striche zu bedeuten haben...

Sei V der Vektorraum aller reelen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: M -> R \end{eqnarray*}$ auf einer (nicht-leeren) Menge M, die beschränkt sind, d.h. zu $\begin{eqnarray*} f \in V \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} c_{f}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid f(m) \mid \leq c_{f} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray*} \mid \mid f \mid \mid \end{eqnarray*}$ = sup $\begin{eqnarray*} \{ \mid f(m) \mid \mid m \in M \} \end{eqnarray*}$ eine Norm auf Vdefiniert wird.

b) Prüfen Sie, ob V eine endliche Basis hat.

c) Prüfen Sie, ob es auf V ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (f \mid g) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} (f \mid f)= \mid \mid f \mid \mid² \end{eqnarray*}$

13.06.2005, 15:16

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lamalambra
a) Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray*} \mid \mid f \mid \mid \end{eqnarray*}$ = sup $\begin{eqnarray*} \{ \mid f(m) \mid \mid m \in M \} \end{eqnarray*}$ eine Norm auf Vdefiniert wird.

Die Doppelstriche links des Gleichheitszeichens sind die Definition der Norm, die rechts innerhalb der Menge hast du dir durch falsches Abschreiben selber eingebrockt. Tatsächlich muss da stehen

$\begin{eqnarray*} \|f\| = \sup\left\{ |f(m)| \Bigm| m\in M \right\} \end{eqnarray*}$

13.06.2005, 16:17

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann wohl sein, aber auf meinem Zettel stand es so, fehlt wohl eine Leertaste Augenzwinkern

Augenzwinkern

Heißt das also wegen der Doppel-Striche, dass die so an sich nichts zu bedeuten haben, also wenn man nun rechnen würde?

13.06.2005, 18:09

Mr. I

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mich nicht alles täuscht, dann bedeuten die striche doch, dass man den betrag des vekors nimmt. (also pythagoräisch berechnen :punk smile

smile

14.06.2005, 19:40

Polly

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, auch wenn man das vielleicht wissen sollte, aber wie berechnet man denn den Betrag eines Vektors und wie kann ich das denn auf die Aufgabe übertragen, ich habe doch hier gar keine gegebenen Vektoren, oder? verwirrt

verwirrt

14.06.2005, 20:40

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zum Teufel kommt ihr nur auf "Betrag eines Vektors" ???

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine reellwertige Funktion, also ist $\begin{eqnarray*} f(m) \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, von der der Betrag $\begin{eqnarray*} |f(m)| \end{eqnarray*}$ gebildet wird - weiter nichts!

Anzeige

15.06.2005, 00:34

RK

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, Arthur Dent, so ganz stimmt das glaub ich auch nicht, denn obwohl hier "=" und nicht ":=" steht, wird hier definiert, wie der Betrag von f berechnet wird, was eine Funktion ist, richtig, aber keine relle Zahl. Wenn ich das mit supremum richtig verstehe ist der Betrag von f also definiert als der Betrag des funktionswertes des Elements aus M...

16.06.2005, 14:55

Krümel

Auf diesen Beitrag antworten »

Halli Hallo!!!
Hier mal eine ganz grundlegende Frage was genau sagt mir das sup und wie gehe ich damit in dieser Aufgabe um?

Und zum Aufgabenteil c: ist es richtig, dass man hier auch zeigen kann, dass M endlich ist und daraus automatisch folgt, dass es auch eine endliche Basis in V gibt?

Wär echt dankbar, wenn mir da nochmal jemand ne Hilfestellung geben könnte.
Danke!!!

17.06.2005, 15:30

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe leider das selbe Problem wir Krümel unglücklich

unglücklich

Unser Tutor meinte, dass man unter sup sowas versteht:
sup $\begin{eqnarray*} \{ (0,1)\} \end{eqnarray*}$ =1
Ist das dann nicht genauso wie das Max?

17.06.2005, 15:39

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Supremum ist die kleinste obere Schranke und muss nicht unbedingt zur Menge gehören. Ein Maximum dagegen gehört zur Menge.

Jedes Maximum ist also ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ist ein Maximum.

Bsp:
Das Intervall (0,1) hat das Supremum 1, aber kein Maximum.
Das Intervall (0,1] hat das Supremum und Maximum 1.

17.06.2005, 16:06

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da gerade mal noch was gefunden bei Mathbord:

Ist T nach oben beschränkt, dann existiert eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten), man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T, in Zeichen sup(T).

Ok, denke das ich das nun verstanden habe mit dem sup, dann wäre unser sup bei dieser Aufgabe doch cf oder? Jetzt muss ich das doch einfach nur auf die Axiome für ein Norm anwenden oder?

17.06.2005, 16:49

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RK
Nun ja, Arthur Dent, so ganz stimmt das glaub ich auch nicht, denn obwohl hier "=" und nicht ":=" steht, wird hier definiert, wie der Betrag von f

"Betrag von f" sehe ich hier weit und breit nicht. Falls du $\begin{eqnarray*} \|f\| \end{eqnarray*}$ meinst: Das ist die "Norm von f". Man muss sich schon richtig ausdrücken, und falls man die Ausdrücke nicht kennt, eben mit den Symbolen wie hier $\begin{eqnarray*} \|f\| \end{eqnarray*}$ vorliebnehmen. Dann gibt es auch nicht solche Missverständnisse.

Zitat:

Original von Lamalambra
mit dem sup, dann wäre unser sup bei dieser Aufgabe doch cf oder?

Nein: $\begin{eqnarray*} c_f \end{eqnarray*}$ ist nur eine obere Schranke. Aber da diese existiert, kann man aus dem von dir angeführten Satz schlußfolgern, dass auch das Supremum existiert. Und es ist auf jeden Fall kleiner oder gleich diesem $\begin{eqnarray*} c_f \end{eqnarray*}$ .

17.06.2005, 17:06

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, ok, dann ist jetzt meine Theorie schon wieder total über den Haufen geworfen unglücklich

unglücklich

Anders, ist es denn wichtig das sup zu kennen?
Oder kann man einfach die Axiome an dem Ding testen?

17.06.2005, 17:33

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lamalambra
Oder kann man einfach die Axiome an dem Ding testen?

Genau das solltest du. Wichtig ist nur zu wissen, dass dieses Supremum eine endliche Zahl ist.

17.06.2005, 17:42

Lamalambra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, dass habe ich ja mittlerweile dann auch verstanden smile

smile

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \mid \mid x \mid \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt würd ich mal meinen, denn wenn man sich eine Funktion aussucht $\begin{eqnarray*} f(m) \end{eqnarray*}$ dann setze ich für das m Werte ein, das ganze steht in Betrag und es würde immer größer gleich 0 rauskommen!
Ich habe mir das jetzt gesparrt meine Beispiele hier reinzuschreiben, aber bei meinen traf es nun zu...
Und dann wäre das Axiom schon fertig oder?

17.06.2005, 18:43

Krümel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich hier nun alles durcheinander werfe, aber ich greife nach jedem Strohhalm der mir grad entgegenkommt.

Hat Aufgabenteil c zufällig was mit einer Parallelogrammregel zu tun?
Wär echt dankbar für neue Denkanstöße...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »