Was ist sinus?

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13.06.2005, 17:57

Julian.D.

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Was ist sinus?

Hallo!

Ich hab mal eine frage smile

eine eigentlicgh ganz simple Augenzwinkern

was ist sinus? was bedeutet die 0.866025 wenn ich invsin(60) nehme?
was fange ich mit der 0.86.. an? was ist das für eine zahl? ist es die cm anzahl der hypotenuse??

Berechnen kann ich alles smile

aber was bedeutet die zahl?

smile

schonmal danke im vorraus

13.06.2005, 18:01

mercany

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Hi,

Sinus (und Cosinus) lässt sich über die Verhältnisse der Seiten im rechtwinkligen Dreieck definieren.

13.06.2005, 18:04

Julian.D.

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was für ein verhältnis smile

0.8... = verhältnis?

was verstehe ich unter verhältnis?

13.06.2005, 18:08

Egal

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Sinus ist im rechtwinklingen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. Gegenkathete heisst dabei die Kathete die dem Winkel gegenüber liegt.
Für jedes mögliche Seitenverhältnis im Dreieck gibt es eine entsprechende Funktion, gebräuchlich sind allerding im wesentlichen sinus, cosinus und tangens.

13.06.2005, 18:08

brunsi

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z:b: gegenkathete zu hypothenuse bei sinus im rechtwinkligen dreieck!!

13.06.2005, 18:12

Julian.D.

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okay..

und mit dem verhältnis der gegen und ankathete kann ich den winkel von Alpha bestimmen.. z.B sin(alpha) = 4 / 5 =0.8 = invsin(0.8) = ~53 °

versteht man das unter verhältnisse?

13.06.2005, 18:30

brunsi

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Zitat:

mit dem verhältnis der gegen und ankathete kann ich den winkel von Alpha bestimmen

das gilt nur, wenn du tangents verwendest, der besagt ja:

$\begin{eqnarray*} tan(\alpha)\frac{gegenkathete}{ankathete} \end{eqnarray*}$

oder wenn du cotangents benutzt
$\begin{eqnarray*} cot(\alpha)=\frac{ankathete}{Gegenkathete} \end{eqnarray*}$

edit1: $\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=\frac{gegenkathete}{hypothenuse} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=\frac{ankathete}{hypothenuse} \end{eqnarray*}$

all diese bezeichnungen gelten nur für das RECHTWINKLIGE Dreicke!!

13.06.2005, 18:34

Ari

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ääähm...ich hätte dazu auch noch eine Frage smile

Also, mal abgesehen von den Verhältnissen im Dreieck gehe ichjetzt aufs rechnerische. Was macht der Taschenrechner, wenn ich Sin(x) eingebe? Also, wenn ich für x einen Wert eingebe? Kann man mir das bitte erklären? Wink

13.06.2005, 18:42

Julian.D.

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das wüsst ich auch ma gerne Augenzwinkern

13.06.2005, 18:47

brunsi

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also wenn du für x in den taschenrechner nen wert eingibst und dann einfach auf z.B. sinus drückst, dann gibt er dir das verhältnis von gegenkathete und hypothenuse an.

gibst du aber nen wert für x ein und drückst INV (oder 2nd; je nach taschenrechner) und dann sinus, dann gibt er dir den winkel an.

edit: noch eine einschränkung. der taschenrechner gibt nur winkel und dementsprechend auch werte raus, die $\begin{eqnarray*} x\leq1 bzw. x\geq-1 ;\alpha\leq90°;\alpha\geq-90° \end{eqnarray*}$ sind. also das nur allgemein gesagt,

13.06.2005, 18:53

Julian.D.

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besten dank jungs smile

ihr seid echt check0r$ smile

13.06.2005, 19:14

brunsi

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ich mach in meinem obigen post noch mal nen edit: bitte noch mal hinschauen,d ass kann man so bei mir oben nicht stehen lassen, würde sonst missverständlich wirken. bitte noch mal hinschauen.

13.06.2005, 21:00

Frooke

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Noch eine Anmerkung: In diesem Fall ist es auch entscheidend, ob der Taschenrechner auf Radianten oder auf Grad eingestellt ist...

Denn im einen Fall liefert er das Ergebnis für die Eingabe im Bogenmaß und im anderen Fall für eine Eingabe Winkelmaß...

Und wenn ihr schon alle trig. Funktionen haben wollte, gebe ich noch zwei fehlende ein smile

Secansfunktion:
$\begin{eqnarray*} \sec x := \frac{1}{\cos x} \end{eqnarray*}$
Cosecansfunktion:
$\begin{eqnarray*} \csc x := \frac{1}{\sin x} \end{eqnarray*}$

EDIT: Danke Arthur; Missverständliche Formulierung verbessert!

13.06.2005, 21:06

DGU

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Der Sinus ist durch

x / 1! - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! ...

definiert.

13.06.2005, 21:59

brunsi

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@FROOKE: diese sind doch bei der schulmathematik nicht so gebräuchlich, daher hab ich die weggelassen.

ich persönlich hatte diese nämlich niemals gehabt!! Augenzwinkern

13.06.2005, 22:46

Ari

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ah gut, ich verstehe smile

danke für die antworten!!!

Zitat:

Der Sinus ist durch

x / 1! - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! ...

definiert.

sorry, wenn ich so doof frage, aber heißt das, dass jede ungerade zahl als z.b. 1 od. 3 (etc.) eingesetzt wird? wie lang geht denn das dann noch weiter? o.O und jeder 2. term subtrahiert bzw. addiert? Verstehe ich das richtig? smile

13.06.2005, 22:51

Poff

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Ari, das brauchst garnicht wissen ...

und ja, das geht so weiter bis ins Unendliche
.

13.06.2005, 22:59

brunsi

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aber die reihenentwicklung wäre doch nur für den beweis anzuführen oder?

13.06.2005, 23:12

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Zitat:

Original von DGU
Der Sinus ist durch

x / 1! - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! ...

definiert.

Das ist eher eine Folgerung, mit analytischen Methoden (Taylorreihe usw.)

Generell üblich ist nach wie vor die "geometrische" Definition über Seitenverhältnisse, so wie oben angegeben.

13.06.2005, 23:12

Fassregel

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Was Sinus ist: Sinus heißt Busen... und dann sagt noch jemand, Mathe würde kein Spaß machen Augenzwinkern

Der obligatorische Wikipedia-Link

14.06.2005, 08:54

Frooke

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Zitat:

Original von brunsi
@FROOKE: diese sind doch bei der schulmathematik nicht so gebräuchlich, daher hab ich die weggelassen.

ich persönlich hatte diese nämlich niemals gehabt!! Augenzwinkern

Klar, war auch nur als Vervollständigung gedacht... Und letztlich könnte man ja auch den Tangens durch Sinus und Cosinus - eigentlich gar den Cosinus durch Sinus - ausdrücken.

@Ari: Hier sonst noch die «geschlossene» Form:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} \end{eqnarray*}$

EDIT: @Dennis: Ich hatte sie sec- und die csc-Funktion auch nie in der Schule smile

14.06.2005, 13:58

Ari

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Oki, dankeschön!!!! Freude

Werd mir den Link mal genauer angucken! smile

14.06.2005, 14:01

babelfish

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Zitat:

Original von brunsi
@FROOKE: diese sind doch bei der schulmathematik nicht so gebräuchlich, daher hab ich die weggelassen.

also ich wurde mit dem bogenmaß vertraut gemacht... verwirrt

sind wahrscheinlich die bundesländergrenzen die uns trennen! Augenzwinkern

14.06.2005, 14:04

brunsi

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@babelfischi, das denke ich auch also in Niedersachsen haben wir das jedenfalls nciht gelernt.

14.06.2005, 14:58

Frooke

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@babelfish: Ich glaube nicht, dass brunsi vom Bogenmass redet: Das haben ja echt alle gesehen... Sonst kann man ja Sinus und Cosinus gar nicht ableiten Augenzwinkern

Es ging da doch um Secans und Cosecans... Und das haben wohl die Allerwenigsten in der Schule gesehen... Oder Du schon?

14.06.2005, 15:06

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Zitat:

Original von Frooke
Secansfunktion:
$\begin{eqnarray*} \sec x := \cos^{-1}x \end{eqnarray*}$
Cosecansfunktion:
$\begin{eqnarray*} \csc x := \sin^{-1}x \end{eqnarray*}$

Die Verwendung der Symbolik $\begin{eqnarray*} \cos^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$ kann auch ihre Tücken haben: Auf meinem Taschenrechner finde ich auch diese Bezeichnungen aufgedruckt, aber da stehen sie für die Umkehrfunktionen $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ . geschockt

Es ist das alte Bezeichnungsproblemvon $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ : Umkehrfunktion oder Reziprokes? verwirrt

14.06.2005, 15:22

babelfish

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Zitat:

Original von Frooke
@babelfish: Ich glaube nicht, dass brunsi vom Bogenmass redet: Das haben ja echt alle gesehen... Sonst kann man ja Sinus und Cosinus gar nicht ableiten Augenzwinkern

ich hatte mich auch schon stark gewundert... smile

Zitat:

Es ging da doch um Secans und Cosecans... Und das haben wohl die Allerwenigsten in der Schule gesehen... Oder Du schon?

hm, nein, wohl nicht!

kenne nur das was arthur ansprach: den $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} arccos \end{eqnarray*}$

aber vielleicht lernt mans ja bei uns, wir werden sehn! Augenzwinkern

14.06.2005, 15:27

JochenX

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finde ich sowieso interessant:
der COtangens ist wie gehabt 1/tangens
abe der COsinus ist NICHT 1/sinus

wieso konnten sie sich nicht einfach für den "cosinus" einen anderen namen einfallen lassen und den COsinus als 1/sinus behandeln!?

14.06.2005, 16:44

Frooke

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@Jochen! Interessant was Du da ansprichst smile

@Arthur! Du hast recht! Ich editier das!

14.06.2005, 19:02

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Ich selbst verwende das $\begin{eqnarray*} \cos^{-1} \end{eqnarray*}$ ja nicht, weder für Umkehrfunktion noch für Reziproke, schon wegen der Verwechslungsgefahr.

Wer $\begin{eqnarray*} \cos^{-1} \end{eqnarray*}$ für die Umkehrfunktion nimmt, müsste konsequenterweise auch $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ als Abkürzung von $\begin{eqnarray*} \cos(\cos(x)) \end{eqnarray*}$ halten, oder? Big Laugh

Glücklicherweise geht meist aus dem Kontext hervor, ob mit der Hochzahl n bei $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Exponent oder aber die Anzahl Hintereinanderausführungen gemeint ist.

15.06.2005, 11:41

Frooke

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Sonst gibt's ja noch immer - wie in Lambacher Schweizer Analysis eingeführt - folgende Bezeichnung der Umkehrfunktion. (sprich f quer)
$\begin{eqnarray*} \overline{f}(x) \end{eqnarray*}$

Aber ich verwende eigentlich dennoch
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$
als Umkehrfunktionsbezeichnung. Eine Kehrwertfunktion schreibe ich so:
$\begin{eqnarray*} (f(x))^{-1} \end{eqnarray*}$
Für mich ist also
$\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\cos(x)\cdot\cos(x)=(\cos(x))^2 \end{eqnarray*}$
weil es ja den Arcuscosinus gibt! Die Umkehrfunktion hat ja da einen Namen. Also:
$\begin{eqnarray*} \arccos(\cos(x))=x \end{eqnarray*}$

Dennoch hast Du natürlich recht, dass man da vorsichtig sein muss @Arthur!

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