summenwert der unendlichen reihe

16.01.2008, 12:55

gabbo

summenwert der unendlichen reihe

berechnen sie den summenwert der unendlihen reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty ~\frac{1}{(3i-2)(3i+1)} \end{eqnarray*}$

ich bekomme es nicht hin die folge zu zerlegen!!

verwirrt

16.01.2008, 12:59

klarsoweit

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RE: summenwert der unendlichen reihe
Verwende den Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{a}{3i-2} + \frac{b}{3i+1} \end{eqnarray*}$

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner und vergleiche dann die beiden Seiten.

16.01.2008, 13:13

gabbo

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was sind denn a und b???

verwirrt

16.01.2008, 13:29

klarsoweit

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Genau diese sind noch zu bestimmen und müssen geeignet gewählt werden, so daß die Gleichung stimmt. Dazu - wie gesagt - mal mit dem Hauptnenner multiplizieren.

16.01.2008, 13:48

Airblader

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@gabbo

Man nennt dies übrigens eine Partialbruchzerlegung.

air

16.01.2008, 14:52

Dual Space

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Zitat:

Original von Airblader
Man nennt dies übrigens eine Partialbruchzerlegung.

Naja ... eigentlich nicht, da es sich dabei um eine Zerlegung mit Hilfe der Nullstellen des Nennerpolynoms handelt.

Koeffizientenvergleich ist mMn das bessere Stichwort.

16.01.2008, 15:27

WebFritzi

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Das ganze nennt sich aber Partialbruchzerlegung. Das war schon korrekt. Dein Koeffizientenvergleich ist nur ein Teil davon.

16.01.2008, 20:43

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das ganze nennt sich aber Partialbruchzerlegung.

Nun, ich kenne den Begriff PBZ nur dahingehend, dass man einen Quotienten zerlegt, indem man die Nullstellen des Nennerpolynoms nutzt. Hier kann ich das nicht erkennen. Ich kann mich aber auch täuschen und schlussendlich ist mir auch egal, wie man dieses Verfahren nennt. Augenzwinkern

16.01.2008, 20:48

tmo

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macht ihr das in der schule gabbo? wenn ja, beneide ich dich Augenzwinkern

16.01.2008, 22:44

gabbo

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ich kann deinen neid stillen indem ich dir alle meine restlichen aufgaben zusende und du sie mir alle gelöst zurücksendest.!!!!
nein das ist fachabi, fernschule "nicht zu empfehlen"

verwirrt

18.01.2008, 00:29

gabbo

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ok, um überhaupt ne lösung zu finden nehme ich erst zum testen die reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty ~\frac{1}{2^{1}-1}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s1=1 \end{eqnarray*}$ _________________ $\begin{eqnarray*} 2-1=2-\frac{1}{2^{0}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s1=1+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ____________ $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2^{1}} \end{eqnarray*}$

so geht das dann weiter, woher kommt die 2??????

verwirrt

18.01.2008, 08:33

klarsoweit

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Es ist immer wieder erstaunlich, daß du sämtliche Hinweise ignorierst und zu einem völlig anderen Thema wechselst, was mit deiner ursprünglichen Aufgabe nur den Begriff "Reihe" gemeinsam hat. Desweiteren ist das, was du geschrieben hast, irgendwas zwischen grobem Unfug und totalem Quatsch.

Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty ~\frac{1}{2^{1}-1}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \end{eqnarray*}$

Erstmal müßte das heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty ~\frac{1}{2^i}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \end{eqnarray*}$

Wobei sich da die elementare Frage stellt, ob du überhaupt mit dem Summenzeichen richtig umgehen kannst.

Zweitens ist das eine geometrische Reihe, die anders behandelt wird, als deine Aufgabe.

Drittens wäre es gut, wenn du nicht abschwenken würdest, sondern meinen Tipp weiter verfolgst. Ich bin auch nicht so, und zeige den nächsten Schritt:

Wir nehmen den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{a}{3i-2} + \frac{b}{3i+1} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} 1 = a \cdot (3i+1) + b \cdot (3i-2) \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} 1 = i \cdot (3a + 3b) + a - 2b \end{eqnarray*}$

Da diese Gleichung für alle i gelten soll, links aber nichts mit i steht (sondern nur eine 1), können wir die Gleichung nur erfüllen, wenn gilt:
3a + 3b = 0 und a - 2b = 1
Das Lösen dieses Gleichungssystems ist kein Akt. Es folgt a = 1/3 und b = -1/3.

Damit lautet deine Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \sum_{i=1}^{\infty}~(\frac{1/3}{3i-2} - \frac{1/3}{3i+1}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schreibe mal die ersten Summanden dieser Summe hin und schau in deinen hochwertigen Studienunterlagen unter dem Stichwort "Teleskopsumme". Augenzwinkern

18.01.2008, 12:06

gabbo

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3a + 3b = 0 und a - 2b = 1 ???

da komme ich nicht mit!!

ich habe das summenzeichen so wie es im buch steht abgeschrieben, oben unendlich unten i=1 !!!

verwirrt

18.01.2008, 12:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
ich habe das summenzeichen so wie es im buch steht abgeschrieben, oben unendlich unten i=1 !!!

Ich habe das mal so aufgeschrieben, wie es richtig heißen müßte. Und wenn du das mal mit deinem Geschriebenen vergleichst, dann siehst du den Unterschied. Entweder hast du falsch abgeschrieben oder dein Buch ist totaler Schrott.

Zitat:

Original von gabbo
3a + 3b = 0 und a - 2b = 1 ???

da komme ich nicht mit!!

Au wei, das wird eine langwierige Geschichte. Warum tust du dir das bloß alles an? verwirrt

Also worum geht? Wir haben diesen Bruch: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} \end{eqnarray*}$ .
Da kommen wir nun auf die Idee, diesen in die Summe von 2 Brüchen zu zerlegen. Das sähe dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{a}{3i-2} + \frac{b}{3i+1} \end{eqnarray*}$

Was uns fehlt, sind auf der rechten Seite die passenden Werte im Zähler, die wir einstweilen mal mit a und b bezeichnen. Nun formen wir das ganze und erhalten
$\begin{eqnarray*} 1 = i \cdot (3a + 3b) + a - 2b \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} i \cdot 0 + 1 = i \cdot (3a + 3b) + a - 2b \end{eqnarray*}$

Wenn man nun intensiv die linke mit der rechten Seite vergleicht, dann würde diese Gleichung stimmen, wenn 3a+3b = 0 und a - 2b = 1 ist. Daraus ergeben sich dann die passenden Werte für a und b.

18.01.2008, 12:38

gabbo

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ich komme da nicht mehr mit, das letzte was ich gemacht habe war geometrie und dann kamen diese beweisverfahren, mit dem zeug kann ich überhauptnichts anfangen, ich denke aber das es auch viel mit meinem lermaterial zu tun hat.
man muss mir das echt wie sendung mit der maus erklären, sonst ist das zu hoch für mich.

verwirrt

18.01.2008, 13:14

klarsoweit

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Also mehr an Erklärungen, wie man den Bruch zerlegt, kann ich dir wirklich nicht geben. Ich habe jeden Schritt dazu haarklein beschrieben und auch das Ergebnis präsentiert.

18.01.2008, 21:57

gabbo

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ich sehe da keinen zusammenhang, warum ist das alles so ein durcheinander.

so 1=i(3a+3b)+a-2b

das ergebnis ist eins 1= i*1, oder für i=1,.....1=1*1,....für i=2,....2=2*1 u.s.w...
so muss der rest (3a+3b)+a-2b=0+1 sein, warum nicht 1+0, wo ist da die regel?

verwirrt

18.01.2008, 23:01

gabbo

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ok, bin soweit um weiter zu machen,

Teleskopsumme<<< steht nicht in meinen schriften!!!

hab das zerlegen jetzt auch mit dem determinantenferfahren gelöst, was jetzt nicht so ganz klar ist sind die =1 =0, wonach bestimme ich das welcher 1 und welcher 0 sein soll??

würde ich jetzt:

(3a+3b)=1 und a-2b=0 nehmen, wäre a 2/9 und b=1/9

geht das dann auch?

$\begin{eqnarray*} s=\lim_{n \to \infty } s_n= \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{1}{3}}{3i-2}+\frac{\frac{1}{3}}{3i+1})=\lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{3}}{3i-2}+\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}}{3i+1}=0+1=1 \end{eqnarray*}$

so, jetzt stimmt es, die folge konvergiert gegen 1 !!!!

verwirrt

19.01.2008, 00:34

gabbo

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keiner da?? Hilfe

19.01.2008, 09:31

klarsoweit

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Nee, nicht mitten in der Nacht. unglücklich

Zitat:

Original von gabbo
das ergebnis ist eins 1= i*1, oder für i=1,.....1=1*1,....für i=2,....2=2*1 u.s.w...
so muss der rest (3a+3b)+a-2b=0+1 sein, warum nicht 1+0, wo ist da die regel?

Die Regel ist, daß in 1=i(3a+3b)+a-2b links kein i steht, also muß man dafür sorgen, daß auch rechts das i verschwindet. Und das ist der Fall, wenn 3a+3b=0 ist.

Damit das Elend ein Ende hat. Es ist:

$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{i=1}^n~\frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \sum_{i=1}^n~(\frac{1/3}{3i-2} - \frac{1/3}{3i+1}) = \frac{1/3}{1} - \frac{1/3}{4} + \frac{1/3}{4} - \frac{1/3}{7} + ... - \frac{1/3}{3n+1} = \frac 1 3 - \frac{1/3}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Den Grenzwert davon wirst du hoffentlich selber finden.

19.01.2008, 17:15

WebFritzi

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RE: summenwert der unendlichen reihe
@klarsoweit: Ich finde, dass du zu hart mit gabbo umgehst. Bedenke, dass wir im Schulforum sind. Außerdem finde ich nicht, dass du jeden Schritt haarklein beschrieben hast.

@gabbo: klarsoweit hat geschrieben

Zitat:

Original von klarsoweit
Verwende den Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{a}{3i-2} + \frac{b}{3i+1} \end{eqnarray*}$

Wir suchen also Zahlen a und b, so dass die obige Gleichung im Ansatz für alle natürlichen Zahlen, die man für i einsetzt, gilt. Wir multiplizieren die ganze Gleichung nun mit (3i-2)(3i+1). Das ergibt

$\begin{eqnarray*} 1 = a(3i+1) + b(3i-2). \end{eqnarray*}$

Das ist das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} 1 = 3ai+a + 3bi-2b. \end{eqnarray*}$

Das ist wieder das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} 1 = 3(a+b)\cdot i + (a - 2b). \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir einen sogenannten Koeffizientenvergleich. Wieviele i's stehen links, wieviele rechts? Rechts: Null, links: 3(a+b). Daraus folgt 3(a+b) = 0, was das gleiche ist wie b = -a. Das setzen wir wieder in die Gleichung ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} 1 = 3a, \end{eqnarray*}$

also a = 1/3, b = -a = -1/3. Die Werte von a und b setzen wir nun in den Ansatz ein. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{1/3}{3i-2} - \frac{1/3}{3i+1}. \end{eqnarray*}$

Wenn du mit der Partialsumme von klarsoweit aus seinem letzten Post nicht zurechtkommst, frag halt nochmal nach.

20.01.2008, 11:29

klarsoweit

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RE: summenwert der unendlichen reihe

Zitat:

Original von WebFritzi
@klarsoweit: Ich finde, dass du zu hart mit gabbo umgehst.

Also so zahm wie hier habe ich dich noch nirgendwo gesehen. smile

Und wie hart geht eigentlich gabbo mit uns um, daß er mitten in der Nacht eine Antwort erwartet? verwirrt

20.01.2008, 14:44

WebFritzi

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RE: summenwert der unendlichen reihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von WebFritzi
@klarsoweit: Ich finde, dass du zu hart mit gabbo umgehst.

Also so zahm wie hier habe ich dich noch nirgendwo gesehen. smile

Na, vielleicht ist es ganz gut, wenn man sich gegenseitig ein bisschen auf die Fühler haut. Auch ich schlage manchmal ein bisschen über die Stränge - das ist mir bewusst. Und nochmal: im Hochschulforum würde ich nichts gegen dein Verhalten sagen, wohl aber hier. Augenzwinkern

22.01.2008, 14:46

gabbo

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ok, das mit der 0 und der 1 habe ich nicht so recht verstanden, links i 1=3a???

verwirrt

22.01.2008, 14:58

klarsoweit

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RE: summenwert der unendlichen reihe

Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} 1 = 3(a+b)\cdot i + (a - 2b). \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir einen sogenannten Koeffizientenvergleich. Wieviele i's stehen links, wieviele rechts? Rechts: Null, links: 3(a+b). Daraus folgt 3(a+b) = 0, was das gleiche ist wie b = -a.

Da steht eigentlich alles genau beschrieben. Eine Kleinigkeit ist aber falsch. Richtig muß es heißen:

Wieviele i's stehen links, wieviele rechts? Links: Null, rechts: 3(a+b).

Falls du jetzt noch irgendwas nicht verstanden hast, solltest du das mit der Zitat-Funktion markieren.

22.01.2008, 15:24

gabbo

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ok, ich habe oben mit determinantenferfahren gerechnet und habe es so hingenommen das das eine 0 und das andere 1 war.
jetzt schau ich auf der linken seite des gleichheitszeichens und finde dort kein i , was bedeutet 0 , somit ist auch i auf der rechten seite 0 und a-2b=1 aha.
dann mit determinantenverfahren a und b ermitteln.

jetzt fehlt mir nurnoch wie man auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}-\frac{\frac{1}{3}}{n+1} \end{eqnarray*}$
kommt??

wenn ich z.b. alles ausrechne komme ich immer auf -1/3 soweit habe ich es schon zusammen

verwirrt

22.01.2008, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gabbo
dann mit determinantenverfahren a und b ermitteln.

Also das mit dem Determinantenverfahren rechnen, ist ziemlich aufwändig. WebFritzi hat doch alles genauestens mit dem Einsetzungsverfahren vorgerechnet.

So, nun hatten wir:

$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{i=1}^n~\frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \sum_{i=1}^n~(\frac{1/3}{3i-2} - \frac{1/3}{3i+1}) = \frac{1/3}{1} - \frac{1/3}{4} + \frac{1/3}{4} - \frac{1/3}{7} + ... - \frac{1/3}{3n+1} = \frac 1 3 - \frac{1/3}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Ich habe nach dem Einsetzen des zerlegten Bruches mal die ersten 4 Summanden sowie den allerletzten Summanden der Summe hingeschrieben. Wie man leicht sieht, heben sich der 2. und 3. Summand auf. Ebenso der 4. und 5. Summand. Usw. Deshalb nennt man das Teleskopsumme. Übrig bleiben der erste und der letzte Summand.

22.01.2008, 15:43

gabbo

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dann also,

$\begin{eqnarray*} s=\lim_{n \to \infty } s_n= \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{1}{3}}{3i-2}+\frac{\frac{1}{3}}{3i+1})=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{3}-\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}}{3n+1}=1-0=1 \end{eqnarray*}$

jetzt aber!!!!!!!

verwirrt

22.01.2008, 16:04

klarsoweit

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Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2008, 16:21

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

die schreibweise in meinen unterlagen!!!

verwirrt

22.01.2008, 17:32

klarsoweit

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Was willst du mir damit sagen? verwirrt

Der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~1 \end{eqnarray*}$ ist 1. Da habe ich nichts dagegen.

Ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ auch 1 ?

22.01.2008, 21:56

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

ahhhhhh, ...-n+n teleskopsumme hab ich jetzt verstanden!!!!

ich habe jetzt den ersten und den letzten und meine schreibweise ist falsch, das erste ergebnis der reihe ist 0,25=1/4.

das bekomme ich mit 1-3/3n+1, nur wie komme ich dahin????

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{3}{3n+1} \end{eqnarray*}$

verwirrt

22.01.2008, 23:31

gabbo

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ich finde da keinen weg zum umformen auf $\begin{eqnarray*} 1-\frac{3}{3n+1} \end{eqnarray*}$

verwirrt

22.01.2008, 23:47

gabbo

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hehe, da muss ich selber lachen!!!!!!!
unglücklich

keine ahnung was ich mir da ausgedacht habe!!

$\begin{eqnarray*} s=\lim_{n \to \infty } s_n= \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{1}{3}}{3i-2}+\frac{\frac{1}{3}}{3i+1})=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{3}-\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}}{3n+1}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

jetzt aber!!!!!!!!

verwirrt

23.01.2008, 08:13

klarsoweit

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Wenn du was geschrieben hast, solltest du das noch mindestens dreimal lesen. So muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} s=\lim_{n \to \infty } s_n= \lim_{n \to \infty }~\sum_{i=1}^n (\frac{\frac{1}{3}}{3i-2} - \frac{\frac{1}{3}}{3i+1}) = \lim_{n \to \infty }~(\frac{1}{3} - \frac{\frac{1}{3}}{3n+1}) = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3} - \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}}{3n+1} = \frac{1}{3} - 0=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 12:14

gabbo

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ok, aber wenigstens weiss ich jetzt wie es geht!!!!!!!

das ist alles einfacher als es aussieht, nur fehlen mir immer die zwischenschritte sinnvoll erläutert.
mal sehen wie ich mit der letzten aufgabe zurecht komme!!!!

danke für die hilfe!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Freude

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summenwert der unendlichen reihe

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