Beweis mit Normalenvektor

13.06.2005, 21:44	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Normalenvektor Ich habe hier einen Beweis geführt,der für mich irgendwie Sinn macht,aber gleichzeitig auch sehr primitiv wirkt. Also: Satz: Ist ax+by+cz=d eine Koordinatengleichung einer Ebene E, so ist der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Normalenvektor von E. Wählen sie hierzu einen geeigneten Stützvektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und zeigen sie,dass für jeden beliebigen Punkt X von E der Vektor $\begin{eqnarray} (\vec{x}-\vec{a}) \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ ist. Beweis. $\begin{eqnarray} (\vec{x}- \vec{a}) \vec{n}=0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein beliebiger Punkt und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse (also ein Stützvektor,dann gilt: $\begin{eqnarray} [\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Nach Auflösen der Klammer und bilden des Skalarprodkutes folgt: ax+by+cz=d So,das wäre mein Beweis.Wäre gut,wenn jemand mal drüber schauen könnte,weil der mir doch recht primitiv erscheint,zumal der Beweis nur aus Ausmultiplizieren besteht.

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