Skalarprodukt

13.06.2005, 22:46

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

Skalarprodukt

Hallo zusammen, bin dabei eine nette Aufgabe bezüglich der Skalarprodukte zu lösen.

Meine Aufgabe lautet:In welchen Fällen handelt es sich um ein Skalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ²?

a)<u,v>_1:=5u1v1-u1v2-u2v1+10u2v2
b)<u,v>_2:=u1v2+u2v1
c)<u,v>_3:=u1v1-u2v2
d)<u,v>_4:=u1v1³+u1³v1,

für u=(u1,u2) und v=(v1,v2)

meine frage wäre, muss ich mich da jetzt auf die eigenschaften des skalarproduktes beziehen.also sagen ob es ein skalarprodukt ist, wenn ja dann folgende eigenschaft,zB.
Linearität
Positivität, Symmetrie
Symmetrie

liebe liebe Grüße

13.06.2005, 22:57

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt
versuchs doch mal mit den eigenschaften,wie du schon vermutet hattest.

genaues aber morgen, da ich jetzt vor übermüdung zusammen brechen würde. Freude

Freude

13.06.2005, 22:58

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt
Nachweisen musst du alle Eigenschaften nur in den Fällen, wo tatsächlich ein Skalarprodukt vorliegt - das ist hier nur ein Fall.

In den anderen drei Fällen genügt jeweils der Nachweis, dass eine der drei Bedingungen verletzt ist - dann kann es kein Skalarprodukt sein.

13.06.2005, 23:05

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt
gut zu wissen, danke arthur!!!

ist ja genau das selbe spielchen wie bei den Vektorräumen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2005, 22:18

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt
hallo ihr lieben

habe mir das so angeguckt..ich kenne zwar die eigenschaften. aber bezogen jetzt auf a,b,c,d...habe ich das nicht gemacht..könntet ihr erst mit mir mal ein ähnliches beispiel machen?damit ich sehe wie es ungefähr geht??

14.06.2005, 22:23

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir als Beispiel mal die Positivität bei b): Dann müsste für alle $\begin{eqnarray*} u=(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \langle u,u \rangle = 2u_1u_2 \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} 2u_1u_2\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle Paare $\begin{eqnarray*} (u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen, oder gilt das nicht? verwirrt

verwirrt

Anzeige

14.06.2005, 22:27

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

bei b es gilt...denn es sit größer als null, also 2u1*u2>=0

außer wenn die werte von u1,u2 negative werte sind

14.06.2005, 22:32

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Also auch für u = (-1,1), ja?

14.06.2005, 22:36

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry die positivität ist hier nicht erfüllt denn es kommt da -2 raus..also <=0 nicht wahr

14.06.2005, 22:37

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, also ist b) bereits erledigt. Und bei c) läufts ähnlich. Bei a) und d) musst du dir allerdings was anderes einfallen lassen.

14.06.2005, 22:44

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich dann bei c auch mit kleiner oder größer als null behaupten??weisst du ich verstehe ja jetzt teil b, aber eins würde mich noch interessieren..warum denn direkt die positivität zeigen??es gibt doch auch andere eigenschaften.spielt bei b und c das vorzeichen eine besondere rolle??

14.06.2005, 23:28

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir da jemand mal die frage bitte weiter helfen sonst komme ich leider nicht weiter...bitte nicht falsch verstehen...also woher sehe ich das was ich für solche funktionen anwenden soll,also welche eigenschaft dafür erfüllt ist??

15.06.2005, 10:34

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir der "Blick" für sowas fehlt, musst du erstmal systematisch daran gehen, die Skalarprodukt-Eigenschaften nachweisen zu wollen. Wenn das bei der einen oder anderen Eigenschaft nicht klappt, muss man sich halt fragen: Wieso nicht? Das kann im wesentlichen zwei Gründe haben: Eigene Unzulänglichkeit oder eben, weil die Eigenschaft einfach nicht gilt. Im zweiten Fall gilt es dann eben, eine Gegenbeispiel zu finden.

P.S.: Im Fall der Skalarprodukte auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt es aber in der Tat ein Kochrezept, aber ob dir das schmeckt, sei mal dahingestellt. Ich geb's mal an:

$\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Skalarprodukt über dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Darstellung $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle=u^T\cdot A\cdot v \end{eqnarray*}$ mit einer positiv definiten symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt. Die Eigenschaft der positiven Definitheit kann man anhand der Eigenwerte der Matrix A überprüfen - die müssen sämtlich positiv reell sein.

15.06.2005, 12:02

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, verstehe.aber meine frage ist zB:

bei teil b steht u1v2+u2v1

wie kann man hier die symetrie nachweisen oder die bilinearität??ich möchte lernen mit solchen funktionen umzugehen nezüglich der skalarprodukte verstehst du?

also damit meine ich ZB die lösung für teilb kann ich das für teil c. auch anwenden wenn ich da einfach das selbe behaupte.oder geht das nicht??ich hoffe du verstehst mich??wollte dies nur wissen obwohl ich die lösün für teil b verstehe...

liebe grüße

15.06.2005, 14:19

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man Symmetrie nachweist? Einfach überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle \end{eqnarray*}$ , und das geschieht durch jeweiliges Einsetzen und nachschauen, ob auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe rauskommt! Aber bei b) ist das ja nicht mehr notwendig, da wir dort bereits wissen, dass es kein Skalarprodukt sein kann.

Oder wie gesagt, du versuchst das ganze auf die erwähnte Matrixdarstellung zu bringen - bei b) würde man die Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erhalten.

15.06.2005, 19:00

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

wie schreibe ich die denn als matrix denn da ist janur eine gleichung?? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oben die 1 0 ist das u1v2???unten die u2v1???

15.06.2005, 19:09

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

also wen ich zB bei C die werte u=(1/-1) und v=(-1/1) und u1v2=u2v1 einsetzte sehe ich das es symetrisch ist weil auf beiden seiten das gleiche rauskommt.also muss ich es mit ner positivität versuchen oder?weil bilinearität hier nicht in frage kommt??

15.06.2005, 19:09

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich habe ich mich auf die oben angegebene Darstellung $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle=u^T\cdot A\cdot v \end{eqnarray*}$ bezogen, hier dann also

$\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u^T\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot v = \begin{pmatrix} u_1 & u_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\end{pmatrix} = u_1v_2+u_2v_1 \end{eqnarray*}$

Muss man denn in jedem Beitrag bei Null anfangen... unglücklich

unglücklich

EDIT: ergänzt

15.06.2005, 19:13

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

u^T das die transponierte matrix und v??warum muss ich das mit der matrix multiplizieren?hast du meinen obigen beitrag gelesen betreff teil c?

15.06.2005, 19:20

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Snooper
also wen ich zB bei C die werte u=(1/-1) und v=(-1/1) und u1v2=u2v1 einsetzte

Was hat das jetzt mit c) zu tun? Bei c) steht

$\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u_1v_1-u_2v_2 \end{eqnarray*}$

Ich kann deinen Argumenten nicht folgen. unglücklich

unglücklich

Aber um es gleich zu sagen: Bilinearität und Symmetrie sind nicht das Problem bei a) bis c), die sind jeweils erfüllt.

15.06.2005, 19:23

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry dass ich mich so unklar ausgedrückt habe.soll ich bei c auch mit positivität widerlegen?zeigen halt dass es kein skalarprodukt ist

15.06.2005, 20:04

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist es.

15.06.2005, 20:36

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

dann kann ich doch bei c auch behaupten:

v=(-1/1)
0<=(v,v)=3v1v2

ist 3 v1v2>=0 für alle Paare(v1,v2) reeller Zahlen?

dann ist 3(-1)*1<=0

also widerspruch der positivität so richtig

15.06.2005, 20:41

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Was rechnest du da eigentlich? Bei c) ist $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u_1v_1-u_2v_2 \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle = v_1^2-v_2^2 \end{eqnarray*}$ . Den Vektor $\begin{eqnarray*} v = (-1,1)^T \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle = (-1)^2-1^2=0 \end{eqnarray*}$ .

15.06.2005, 21:06

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

warum denn hoch 2 nehmen??

15.06.2005, 21:19

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß ich auch nicht mehr weiter.

@LOED

Hilfe

Hilfe

15.06.2005, 21:57

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann fragen wir mal loed oder die anderen, ob mir jemand die aussage/beweis von arthur(vorletzter beitrag) erklären kann?

liebe grüße

16.06.2005, 09:58

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ichs im Web auf die Schnelle nichts direkt passendes gefunden habe, will ich versuchen, mal einiges zu Skalarprodukten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zu erklären:

Es seien $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ für i=1..n die Basis-Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , d.h., an der i-ten Komponente steht eine 1, sonst 0. Dann lässt sich der Vektor $\begin{eqnarray*} u=(u_1,\ldots,u_n)^T \end{eqnarray*}$ schreiben gemäß $\begin{eqnarray*} u=u_1e_1+u_2e_2+\ldots+u_ne_n = \sum_{k=1}^n~u_ke_k \end{eqnarray*}$ , analog dann auch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

1.) Aus der Bilinearität des Skalarprodukts folgt dann

$\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = \left\langle \sum_{k=1}^n~u_ke_k,v\right\rangle = \sum_{k=1}^n~u_k\langle e_k,v\rangle = \sum_{k=1}^n~u_k\left\langle e_k,\sum_{j=1}^n~v_je_j\right\rangle = \sum_{k=1}^n~\sum_{j=1}^n~u_k\langle e_k,e_j\rangle v_j \end{eqnarray*}$

Damit sind alle möglichen Skalarproduktwerte auf diejenigen der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ zurückgeführt. Definiert man nun die Matrix

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \cdots & \langle e_1,e_n\rangle\\ \langle e_2,e_1\rangle & \langle e_2,e_2\rangle & \cdots & \langle e_2,e_n\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle e_n,e_1\rangle & \langle e_n,e_2\rangle & \cdots & \langle e_n,e_n\rangle\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so kann man das eben bequemer als $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u^T\cdot A\cdot v \end{eqnarray*}$ schreiben, wie ich es oben bereits mehrfach getan habe. Nur zur Erinnerung: Bisher wurde lediglich die Bilinearität des Skalarprodukts genutzt.

2.) Die ebenfalls an das Skalarprodukt gestellte Symmetrieforderung impliziert nun $\begin{eqnarray*} \langle e_k,e_j\rangle = \langle e_j,e_k\rangle \end{eqnarray*}$ , was dazu führt, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch sein muss. Von symmetrischen Matrizen sollte nun bekannt sein, dass sie diagonalisierbar sind, und alle Eigenwerte zudem reell - das spielt dann im nächsten Punkt eine Rolle.

3.) Schließlich und endlich kommen wir zur Positivitätsbedingung $\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle>0 \end{eqnarray*}$ für alle Nicht-Nullvektoren $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ : Nach den bisherigen Betrachtungen entspricht das der Forderung $\begin{eqnarray*} v^T\cdot A\cdot v>0 \end{eqnarray*}$ , was dem Begriff der positiven Definitheit der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ entspricht. Und diese wiederum kann man entweder durch Berechnung der Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestätigen, oder (wie in den Fällen b) und c) geschehen) durch Angabe eines einzigen Gegenbeispiel-Vektors $\begin{eqnarray*} v^*\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} v^{*T}\cdot A\cdot v^*\leq 0 \end{eqnarray*}$ widerlegen.
(Es gibt im Positivfall auch Alternativen zur kompletten Eigenwertberechnung - wie etwa die Darstellung von $\begin{eqnarray*} v^T\cdot A\cdot v \end{eqnarray*}$ durch eine andere, ebenfalls geeignete Summe von Quadraten - aber auf die will ich jetzt nicht näher eingehen, weil das einzelfallbezogen und nicht systematisch ist, sondern ein eher geübtes "Auge" erfordert.)

Ist denn das soooo schwer? Ich könnte fast wetten, dass du das so ähnlich in der Vorlesung gehört hast - vielleicht nicht in so geraffter Form. Und lies dir das mal in aller Ruhe durch, vergleiche das mit deiner Vorlesung, und versuche mal selbständig zu ergründen, was das bezogen auf die Teilaufgaben a) bis d) bedeutet. Soweit das in diesem Thread nicht schon geschehen ist...

P.S.: Beim Übergang ins Komplexe, also Skalarprodukte im $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ sind viele der voranstehenden Aussagen so nicht richtig und müssen angepasst werden. Z.B. wird "Bilinearität" durch "Sesquilinearität" ersetzt, die Matrix muss nicht symmetrisch sondern hermitesch sein usw. Aber damit will ich dich zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch nicht verwirren - nur erstmal betonen, dass man beim Übergang zum Komplexen sehr vorsichtig sein muss.

16.06.2005, 22:55

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo zusammen...

wir haben im tuttorium sowas ähnliches berechnet. aus der gegebene gleichung die matrix jeweils bestimmen und dann überprüfen ob es symmetrisch ist und ob die positivität erfüllt ist..dann sklalarprodukt.ah ja die positivität kann man so überprüfen wenn die determinante ungleich null ist...

da habe ich laut dieses beispiels einfach mal nachgerechnet und bekam für a ein skalarprodukt.

jetzt weiss ich ja wie man die matrix aufstekllt und verstehe auch deine beiträge smile

smile

)))

was mir bedenken macht ist d) da kriege als matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist das korrekt oder liege ich falsch

17.06.2005, 21:47

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo kann mir jemand bezüglich der aufgabe heöfen??würde gerne wissen ob es richtig ist

17.06.2005, 22:12

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u_1v_1^3+u_1^3v_1 \end{eqnarray*}$ verletzt bereits die Eigenschaft der Bilinearität. Insofern braucht man nicht über die Matrix A der Darstellung $\begin{eqnarray*} \langle u,v\rangle = u^T\cdot A\cdot v \end{eqnarray*}$ zu diskutieren, weil die Darstellung hier schlicht nicht zutreffend ist.

17.06.2005, 22:16

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

danke arthur..also hier nene ich dir mal kurz die ergebnisse...für a)skalar produkt. b)C) und d) keine skalarprodukte nicht wahr

17.06.2005, 22:17

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude

Freude

17.06.2005, 22:22

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

freut mich smile

smile

))))danke für deine bemühungen smile

smile

Ps:eins muss ich noch sagen:ich finde es toll das man hier nicht direkt die lösungen schreibt so fällt mir das verstehen auch nicht schwer denn ihr" Helfer" fordert die leute ,die HILFE brauchen selbst mit zu arbeiten smile

smile

))

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »