Kurvendiskussion(Wurzelfunktion)

16.01.2008, 17:49

Monster

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Kurvendiskussion(Wurzelfunktion)

Hallo, ich bin´s mal wieder, hänge an meinen Hausaufgaben unglücklich

unglücklich

Zu bearbeiten ist die Funktion f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x}+\sqrt{x-2} \end{eqnarray*}$
Gesucht sind Definitions- und Wertebereich, Nullstellen und das Extrema, welches wir mit dem Tangentenanstieg nachweisen sollen.
Habe nun schon Definitions-u.Wertebereich gemacht und bekomme heraus, dass x Element der reellen Zaheln ist aber größergleich 2 sein muss
Meine y-Werte liegen auch im Bereich der reellen Zahlen und müssen größer als 1 sein.
Dieser Wertebereich gilt nur, wenn die Extrema nicht kleiner sind, deshalb betrachte ich erst nach der E-Wertbetrachtung die Nullstellen weil der Wertebereich MOMENTAN aussagt, das diese nicht vorhanden sind.
Sooo, musste nun die Ableitung der Fkt. machen und da gibts wie immer Probleme, hab die Fkt. erma auseinander genommen und bekomme heraus: $\begin{eqnarray*} f(x)=2*x^{-1}* (x-2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Wie soll ich da nun ableiten die Ableitung von der Wurzel ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x-2}} \end{eqnarray*}$ oder? wie mache ich das bei dem ersten Faktor? Oder sind das eigtl zwei?
Wär lieb, wenn mir jmd hilft, danke smile

smile

16.01.2008, 17:53

klarsoweit

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RE: Kurvendiskussion(Wurzelfunktion)

Zitat:

Original von Monster
$\begin{eqnarray*} f(x)=2*x^{-1}* (x-2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich dachte, das war eine Summe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2*x^{-1} + (x-2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

16.01.2008, 17:54

Rumpfi

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Hier ist die 1. Ableitung der Funktion:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}} -\frac{2}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Um die Nullstelle zu berechnen, solltest du am besten das Newtonische Näherungsverfahren anwenden, sofern du es beherrscht.

16.01.2008, 17:57

Monster

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Stimmt, weiß nicht, woher ich das malzeichen herhab xD
okay, versuch mich erstmal an den Extremwerten, danach versuch ich noch die NS-Betrachtung, muss mich dann erstmal wieder in dieses Näherungsverfahren reinarbeiten, das ist schon eine Weile her...
Ich geb gleich bescheid, wennch die E´s hab, danke smile

smile

16.01.2008, 17:59

Monster

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Noch ne Frage, wenns um Nullstellen und Polstellen ging, konnte man doch beim Malrechnen des Nenners, diesen aufgrund der Null auf der linken Seite "wegfallen" lassen, geht das bei zwei Summanden genauso oder muss da noch i-wie der Nenner zum anderen Summanden "hochmultipliziert" werden?

16.01.2008, 18:09

klarsoweit

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Achte auf die einschlägigen Regeln wie Distributivgesetz, dann solltest du die Antwort selber finden.

Zitat:

Original von Rumpfi
Um die Nullstelle zu berechnen, solltest du am besten das Newtonische Näherungsverfahren anwenden, sofern du es beherrscht.

Oder sofern es überhaupt eine gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.01.2008, 18:12

Rumpfi

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Bin selbst grad draufgekommen, die Nullstelle kann (theoretisch) nur eine Minus-Zahl sein, aber man kann aus einer Negativen Zahl keine Wurzel ziehen

16.01.2008, 18:12

Monster

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Hehe danke für die Andeutung aber muss ja trotzdem zeign dass es eben keine gibt...
Dein Spruch gefällt mir, ist der nicht von Brecht?
So bin dann erstmal wieder rechnen unglücklich

unglücklich

16.01.2008, 18:20

Monster

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Jungs, tschuldigung dass ich sooft frag wegen den Scheißgrundrechenregeln, die ich nicht kann, versemmel ich immer alles, deshalb fragch lieber öfters
kommt dann umgestellt $\begin{eqnarray*} x^{2} = 4*\sqrt{x-2} \end{eqnarray*}$ heraus oder? Nur was soll ich denn jetzt machen um die Wurzel wegzubekommen? Quadrieren ist blöd wegen dem x² aber was sollch denn sonst machn, um das lösen zu können? Durch 4 ist ja auch n bisschen sinnlos

16.01.2008, 18:21

Rumpfi

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Hab mir grad die Mühe gmacht und für dich die 2. Ableitung geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(x-2)^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4x^{-3}-4(x-2)^{-\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{4}{x^{3}} -\frac{1}{4\sqrt{(x-2)^{3}} } \end{eqnarray*}$

16.01.2008, 18:51

klarsoweit

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@Rumpfi: bevor du weiterhin hier alles vorrechnest, solletst du erstmal einen Blick in unser Board-Prinzip werfen. smile

smile

Prinzip "Mathe online verstehen!"

16.01.2008, 19:05

Rumpfi

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Ok, werd mir das in Zukunft zu Herzen nehmen.

16.01.2008, 19:08

tmo

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RE: Kurvendiskussion(Wurzelfunktion)

Zitat:

Original von Monster
Gesucht sind Definitionsbereich [...]

mache dies doch zuerst. danach ist offensichtlich, dass keine nullstelle existieren kann.

16.01.2008, 19:19

Monster

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sorry, war essen, tmo, hab in meinem ersten beitrag wat zu wertebereich und ns geschrieben smile

smile

aber danke für den hinweis
bekomme 0=x^4-16x+2 bei den Extrema raus, wie sollch denn da rangehen?
Substitution geht nid, wieder dieses Näherungsverfahren?

16.01.2008, 19:21

tmo

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du musst die 2 auch mit der 16 multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} (4\sqrt{x-2})^2=16(x-2) \end{eqnarray*}$

16.01.2008, 19:30

Monster

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wieso denn mal 2?

16.01.2008, 19:40

tmo

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du hast wohl gerechnet:

$\begin{eqnarray*} (4\sqrt{x-2})^2=16x-2 \end{eqnarray*}$

richtig wäre aber

$\begin{eqnarray*} (4\sqrt{x-2})^2=16(x-2) \end{eqnarray*}$
somit kommst du auf eine ganz andere gleichung 4ten grades, von der du ziemlich leicht nachweisen kannst, dass sie keine lösung besitzt.

16.01.2008, 19:43

Monster

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Okay, Klammer vergessen unglücklich

unglücklich

wenn man für x 2 einsetzt, wäre des aber gelöst oder?

16.01.2008, 19:44

tmo

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wie kommst du darauf?

16.01.2008, 19:46

Monster

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NEIN, es steht ja nicht mehr 0 auf der linken Seite, sondern x^4, gute Frage, warum ist das nicht definiert? Mit welchen Umformungen kommt man da drauf?

16.01.2008, 19:48

tmo

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es geht ja um $\begin{eqnarray*} x^4-16x+32=0 \end{eqnarray*}$

die funktion auf der linken seite (wenn man den term mal als solche betrachtet) hat ein globales minimum, das du berechnen kannst.

16.01.2008, 19:52

Monster

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Versteh das grade nicht unglücklich

unglücklich

Geht doch eh um Extrema oder? Nur komm halt mit dieser hoch4 nicht klar

16.01.2008, 19:55

tmo

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dann zeigen wir halt anders, dass die ableitung keine nullstelle besitzt:

es geht um $\begin{eqnarray*} x^2-4\sqrt{x-2}=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x=h+2 \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} (h+2)^2-4\sqrt{h}=h^2+4h+4-4\sqrt{h}=0 \end{eqnarray*}$

nun betrachte mal $\begin{eqnarray*} 4h+4-4\sqrt{h}=4(h-\sqrt{h}+1) \end{eqnarray*}$ und begründe, dass dies > 0 ist.

16.01.2008, 19:57

Monster

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was machst denn du mit dem h? blick´s i-wie immer weniger, soll das ne annäherung an eine zahl oda so sein?

16.01.2008, 19:59

tmo

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sorry, ich hab am ende paar mal x statt h geschrieben.

ist jetzt verbessert.

16.01.2008, 20:01

Monster

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und mit dem h willst du erreichn, dass ich nicht mit ner 4erpotenz(oder wie das heißt^^) rechnen muss?

16.01.2008, 20:04

tmo

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damit will ich einfach nur erreichen, dass unter der wurzel keine summe steht. so kann man nämlich leichter einsehen, dass dieser term größer als 0 für alle x aus der definitionsmenge ist.

16.01.2008, 20:08

Monster

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Ich glaub ich geb´s aus, krieg das nid in meinen Kopf rein, wird immer komplizierter, je mehr ich mich für das Fach anstrenge und desto schlechter werde ich...
Sehe da überhaupt nichts, egal in welcher Form.
Danke für deine Hilfe aber schaff´s einfach nid.

16.01.2008, 20:29

Monster

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Arg letzter Versuch, ich hab das mal ohne die h-Variante versucht, die verwirrt mich nur noch mehr
hab umgestellt und dann
-32=x^4-16x und dann die glieder der rechten seite genauer betrachtet:

x^4 ist immer positiv, bei einsetzen von zahlen steigt dieser term dann rapide an
-16x dagegen ist für alle durch den definitionsbereich zugelassenen x negativ

es will -32 erricht werden, mit dem kleinstmögl. x, also 2 habe ich eingesetzt, schon da ist die rechte seite größer als die linke, wie schon vorher ermittelt, muss bei einsetzen von größeren zahlen durch die x^4 ein rapider anstieg entstehen, somit kann -32 nie erriecht werden
wie schreibt man das nu mathematisch auf? xD

16.01.2008, 20:35

tmo

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Zitat:

Original von tmo
dann zeigen wir halt anders, dass die ableitung keine nullstelle besitzt:

es geht um $\begin{eqnarray*} x^2-4\sqrt{x-2}=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x=h+2 \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} (h+2)^2-4\sqrt{h}=h^2+4h+4-4\sqrt{h}=0 \end{eqnarray*}$

nun betrachte mal $\begin{eqnarray*} 4h+4-4\sqrt{h}=4(h-\sqrt{h}+1) \end{eqnarray*}$ und begründe, dass dies > 0 ist.

so

Big Laugh

Big Laugh

naja um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = x^4-16x \end{eqnarray*}$ streng monoton wächst für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ kannst du einfach mal ableiten.

und wenn es dann für x = 2 schon größer als -32 ist, dann für alle größeren x auch.

16.01.2008, 20:41

Monster

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g´(x)=4x³-16
g´(2)=16>-32 -->für alle x > 2 entsteht g´(x)<-32;
f´(x)=0 f.A.
Mathematisch so okay?^^

16.01.2008, 20:47

tmo

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eher völliger unsinn unglücklich

unglücklich

es ist $\begin{eqnarray*} g'(x) = 4x^3-16 \geq 4 \cdot 2^3 - 16 =16>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ .
daraus folgt die strenge monotonie von g.

wegen $\begin{eqnarray*} g(x)=x^4-16>-32 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich somit die unlösbarkeit von $\begin{eqnarray*} x^4-16x+32=0 \end{eqnarray*}$ in den reellen zahlen, was uns letztendlich dazu führt, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ keine lösung besitzt.

was bedeutet das dann für deine funktion f?

16.01.2008, 20:51

Monster

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sie dürfte keinen extrempunkt haben, oder?

16.01.2008, 20:52

tmo

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genau so siehts aus Freude

Freude

16.01.2008, 20:55

Monster

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Respekt an dich, dass du soviel Geduld mit mir hattest xD Nur hab mit vorgenommen jetzt im neuen Kurshalbjahr nicht locker zu lassen und so lange zu probieren, bis es i-wann mal klappt...
Dann dürfte der Nachweis mit dem Tangentenanstieg(bekommt man den nid eh durchs Differenzieren?) auch wegfallen oder?

16.01.2008, 20:59

tmo

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ja ich nehme mal an, dass damit einfach gemeint ist, die gleichung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen, bzw die unlösbarkeit zu zeigen. mit anderen worten, das wäre erledigt.

16.01.2008, 21:02

Monster

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woah gott sei dank xD nu habch wenigstens ma den teil der pflichthausaufgabe, die zusatzhausaufgabe habch weitestgehend hab aber i-wo wieder rechenfehler drin, des mach ich dann nachm duschen aber damit geh ich dir dann nicht auf die nerven Augenzwinkern

Augenzwinkern

bis dann vllt und nochmals vielen dank Prost

Prost

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