Erwartungswert einer Summe von normalverteilten Zufallsvariablen

14.06.2005, 17:56

forkatrinchen

Erwartungswert einer Summe von normalverteilten Zufallsvariablen

Hallo zusammen,
ich habe eine vermutlich ziemlich blöde Frage, weil ich grad total auf dem Schlauch stehe.
Ich habe X1...Xn i.i.d (my,sigma)-normalverteilte Zufallsvariablen und brauche den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~Xi \end{eqnarray*}$ .
Ist das dann n*my? Oder ganz was anders.
BITTE HELFT MIR!!! Hilfe

Vielen Dank
forkatrinchen

14.06.2005, 18:23

bil

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hi...
richtig.
da $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt sind ist
$\begin{eqnarray*} E(X_i)=\mu \Rightarrow E(\sum_{i=1}^n X_i)=n\mu \end{eqnarray*}$
mfg bil

14.06.2005, 18:23

jovi

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RE: Erwartungswert einer Summe von normalverteilten Zufallsvariablen
ich weiss zwar nicht genau, was du mit

Zitat:

X1...Xn i.i.d (my,sigma)-normalverteilte Zufallsvariablen

meinst, aber
n*my sollte schon stimmen.

14.06.2005, 18:34

forkatrinchen

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RE: Erwartungswert einer Summe von normalverteilten Zufallsvariablen
Hallo,
ich habe den Formeleditor noch nicht so ganz durchschaut, daher konnte ich nicht Xi~ $\begin{eqnarray*} N(\mu;sigma^2) \end{eqnarray*}$ schreiben. Sorry.
Vielen vielen Dank für Eure Hilfe. Mit Zunge

Liebe Grüße
forkatrinchen

14.06.2005, 20:37

forkatrinchen

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RE: Erwartungswert einer Summe von normalverteilten Zufallsvariablen
Hallo zusammen,
ich brauche nochmal eure Hilfe Hilfe

:
Was ist unter gleichen Vorraussetznungen der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~Xi^2 ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n*\mu^2 \end{eqnarray*}$ ???
Vielen Dank
Liebe Grüße
forkatrinchen

14.06.2005, 20:47

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Nö, ist falsch.

Zunächst mal solltest du inzwischen mitgekriegt haben, dass der Erwartungswert einer Summe gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Also gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n~X_i^2\right) = \sum_{i=1}^n~\mathbb{E}\left(X_i^2\right) = n\cdot\mathbb{E}\left(X_1^2\right) \end{eqnarray*}$

letzteres kann man schreiben, da alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die gleiche Verteilung besitzen, da kann man $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ als Repräsentant nehmen. Und zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(X_1^2\right) \end{eqnarray*}$ solltest du an die Berechnungsformel der Varianz denken

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X_1 = \mathbb{E}\left(X_1^2\right)-\left(\mathbb{E}~X_1\right)^2 \end{eqnarray*}$

14.06.2005, 21:47

bil

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hi
schätze mal das du es weisst aber wenn nicht könnte es hilfreich sein.
$\begin{eqnarray*} X_i\sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ verteilt dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \mu&=&E(X_i)=Erwartungswert\\\sigma^2&=&V(X_i)=Varianz\\ \end{eqnarray*}$

also hast du alles um $\begin{eqnarray*} E(X_1^2) \end{eqnarray*}$ auszurechnen.
mfg bil

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