Abstand punkt gerade

14.06.2005, 18:05

Ano

Abstand punkt gerade

Hi! ich kann das zwar berechnen, nur is das sehr umständlich. jetzt hab ich im board diese tolle formal von jama gefunden:
( http://www.matheboard.de/thread.php?postid=10089#post10089 )

jetzt nehm ich an p is der vektor zum punkt, a is der vektor (stütz und richtung) der geraden. aber was is dieses komische ev???

thx schonma für antwort.

http://www.mainzelahr.de/smile/schilder/thanx.gif

14.06.2005, 18:17

Calvin

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RE: Abstand punkt gerade
$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor des Punktes P. $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist der Stützvektor der Geraden und $\begin{eqnarray*} \vec{e_v} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor der Länge 1, der in die gleiche Richtung zeigt wie der Richtungsvektor der Geraden $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ .

14.06.2005, 18:38

Ano

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ahh... sehr schön. danke sehr. also quasi
$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{Ev}}{\vec{|Ev|}} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt den punkt herausfinden will, welcher auf der gerade liegt und den kürzesten abstand hat. wie fang ich das am besten an? muss ich da wieder so umständlich rechnen?

14.06.2005, 18:42

brunsi

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am einfachsten geht das, wenn du die geradengelichung in Parameterform gegeben hast.

dann stellst du einfach eine zur Geraden orthogonale(senkrechte) Ebene durch deinen gegebenen Punkt auf. Die Ebene wird dann in Koordinatenform dargestellt.

Anschließend berechnest du den schnittpunkt von der Geraden und der Ebene.

Um dann noch den abstand zu berechnen, musst du einfach noch den betrag der differenz von gegebenem Punkt und SChnittpunkt nehmen und hast dann deinen abstand, deine kürzeste länge!!

14.06.2005, 20:42

Ano

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die ebenendings is richtig schön. find ich toll =D
thx an alle leute hier =D

Tanzen

14.06.2005, 21:19

brunsi

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bitte schön.

weißt ja wie man ne orthogonale eben zur geraden aufstellt!! richtungsvektor der geraden ist gleich ein normalenvektor der ebene!!

14.06.2005, 21:53

Ano

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exakt... hab erst überlegt, bis mir dann aufgefallen is, dass parallel das gegenteil von orthogonal is... bzw andersrum Hammer

aber alles klar. bin so ziemlich 15punkte kandidat, nur ich fand die formel so toll, um den abstand zu berechnen. normal rechnen wir da min. ne halbe seite

15.06.2005, 08:12

brunsi

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wohl gemerkt, diese rechenweise gilt nur für den kürzesten abstand zwischen einem beliebeigen punkt außerhalb einer geraden und einem dazu feststehenden (den du abger nuch berechnen musst) Punkt!!

viel erfolg

15.06.2005, 21:39

Ano

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argh... also nicht der kürzeste punkt zwischen einer ebene und einer geraden??????????

15.06.2005, 22:06

brunsi

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Zitat:

argh... also nicht der kürzeste punkt zwischen einer ebene und einer geraden??????????

das gibt es [berhaupt nicht!!.s.das Zitat. hab noch nie nen kuerzesten punkt gesehen.

das was ich dir beschieben habe gilt fuer den kuerzesten abstand eines punktes von einer geraden.

15.06.2005, 22:12

Ano

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Zitat:

Original von brunsi
wohl gemerkt, diese rechenweise gilt nur für den kürzesten abstand zwischen einem beliebeigen punkt außerhalb einer geraden und einem dazu feststehenden (den du abger nuch berechnen musst) Punkt!!

das schaut mir so aus, als wenn man da irgendwie den abstand zweier punkte berechnet.
aber stellen wir uns vor, wir haben die gerade
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und den punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann is der abstand
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-5 \\ 2-1 \\ 3-7 \end{pmatrix} \times ( \frac{1}{\sqrt{14} } * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
is dem so???

frage, ob ich jetzt p-a oder a-p mach is doch egal. oder? ich nehm am ende eh den betrag.

Habs nochma an ner beispielaufgabe die ich schonma hatte nachgerechnet und es stimmt. vielleicht war dein ausdruck in dem oberen quote net so gewählt, dass ichs verstanden habe. Aber diese rechnung scheint den abstand zwischen einem punkt und der ebene zu bestimmen.
vielen dank an alle, die geholfen haben =D *freu*
vielleicht kann ja wer versuchen, mir zu erklären, wie man auf diese formel kommt... *lieb guck*
muss aber netmehr heute abend sein. werd jetzt in die heia gehen, dami ich morgen frisch und fröhlich meine klausur schreiben kann. gute nacht
Wink

16.06.2005, 09:51

brunsi

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Zitat:

wenn ich jetzt den punkt herausfinden will, welcher auf der gerade liegt und den kürzesten abstand hat. wie fang ich das am besten an?

so ich nimm mal dein zitat:

du wolltest wissen, wie man den kürzesten abstand abstand eines Punktes von einer geraden berechnet.

Der einfachste Weg ist eben:

1. AUfstellen einer Ebene in Koordinatenform, die senkrecht zur geraden verläuft (Tipp: Richtungsvektor der Geraden =Npormalenvektor der Ebene)

2. Schauen ob der Punkt von dem du den kürzesten abstand haben willst in der Orthogonalen ebene liegt. also Punkt einsetzen: x+y+z=c
Durch einsetzen des punktes erhälst du den wert für c und damit ist deine ebene lokalisiert.

3. BErechnung des SChnittpunktes von Ebene und Gerade. damit erhälst du den punkt der auf der geraden liegt und von deinem obigen punkt den kürzesten abstand hat.

VErständlich?? Irgendwelche Frage?

zu deiner frage: ja man kann es auch so machen wie es im workshop angeführt ist, aber meine variante ist einfacher Augenzwinkern

mach mich aber auch ncoh mal schlau. das stand bestimmt in nem workshop??

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