vollständige Induktion

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noone Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion
Folgende Formel soll bewiesen werden: G(n)=4n + 3, mit G(0)=3, G(1)=4 und G(2)=11

code:
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3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Induktionsanfang
G(0) = 4(0) + 3 = 3
G(1) = 4(1) + 3 = 7
G(2) = 4(2) + 3 = 11
Induktionsvoraussetzung
G(n) = 4n + 3
Induktionsbehauptung
G(n+1) = 4(n+1) + 3
Beweis des Induktionsschritt
G(n+1) = G(n) +4  <-- woraus entsteht/kommt die +4
  ->Formel der Induktionsvoraussetzung für G(n) einsetzen
G(n+1) = 4n+3 + 4 = 4n+4 +3
G(n+1) = 4(n+1) +3


Woraus entsteht/Woher kommt beim Beweis des Induktionsschritt die +4?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mal spöttisch gefragt: Warum ist das Ergebnis 42?

Im Ernst: Du sagst nicht, was dieses G(n) sein soll bzw. was du darüber weißt, knallst uns nur den Induktionsbeweis für die Darstellung G(n) = 4n+3 hin, und fragst dann, wieso man diese Rekursion für G(n+1) verwenden darf.

So geht das nicht!!! unglücklich unglücklich unglücklich
noone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und fragst dann, wieso man diese Rekursion für G(n+1) verwenden darf.
Nein, das frage ich nicht!(Hoechstens indirekt Augenzwinkern )

Die Frage ist nicht auf dieses eine Beispiel fixiert.
Ich moechte wissen, woher immer dieser Term kommt, der beim Beweis des Induktionsschrittes hinzuaddiert wird.
Dies war bei der vorherigen Formel +4.

Ein anderes Beispiel:
Beweise:
http://de.wikipedia.org/math/5070cecf08a55beb97a8e351e5cdde2d.png

Induktionsanfang:
http://de.wikipedia.org/math/d6df264fb4b7fcd65cc86cf7434f509b.png

Induktionsvoraussetzung:
http://de.wikipedia.org/math/5070cecf08a55beb97a8e351e5cdde2d.png

Induktionsbehauptung:
http://de.wikipedia.org/math/2dfcecc6398538883dc73071d69551c6.png

Beweis des Induktionsschrittes:
http://de.wikipedia.org/math/ba0c97b04379213cf9d0dbb75660c0b3.png
Woher kommt in der obigen Gleichung dieser Term +2(n+1)-1 ??
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das n+1. Glied.Du darfst ja einzelne Summanden rausziehen.Genau das wurde hier gemacht um die Summe nur noch von 1 bis n zu haben
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir mal, welche Zahlen hier addiert werden. Dann schau dir mal an, was im letzten Bild über der ersten Sumem und was über der zweiten Summe steht. Die +2(n+1)-1 sind der "fehlende" Summand.
noone Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, jetzt weiss man schonmal, was ich eigentlich will. smile
Anhand eines einfachen Beispiels, wie einer Summenformel habe ich auch kein Problem das hinzuaddieren des Terms zu verstehen(ganz klar das n+1 Folgenglied).

Wie verhaelt es sich aber bei einem Induktionsbeweis z.B. einer Folge?
Was repraesentiert der Term, der hinzuaddiert wird dort?

Beispiel:
Ich habe eine Folge. Ich vermute fuer die Folgenvorschrift: 2(n+1)²

Induktionsanfang:
(die Folge stimmt mit den Werten n=0,1,2 mit der vermuteten Gleichung ueberein)

Induktionsvoraussetzung:
2(n+1)²

Induktionsbehauptung:
2((n+1)+1)² = 2(n+2)²

Beweis des Induktionsschritt:
G(n+1) = G(n) + 4n +6 Woher kommt der fettgedruckte Term?!

G(n+1) = 2(n+1)² + 4n +6
= 2n² + 4n +2 + 4n + 6
= 2n² + 8n + 8
= 2(n+2)²
QED
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte vermeide diese Mehrfachpostings (hintereinander).

IV:
IS:

Nun willst du ja die IV in die IS einbringen:

=>

EDIT: Ich glaube meine Anwort verfehlt deine Fragestellung

Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gelesen hast du meinen Beitrag oben, aber begriffen hast du ihn nicht. Also zweiter Versuch:

Bei deinen nachfolgenden Summenbeispielen weiß man eben aus der Summandenform, was im Induktionsschritt dazuzuaddieren ist - hier jetzt weiß man es genau wie in deinem ersten Beispiel oben eben nicht! Weil jegliche Informationen, die dazu nötig sind, nicht vorhanden sind bzw. du sie uns vorenthältst.


Das ist wie beim Beweis der Behauptung

Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig.

ohne dass man die Voraussetzung a²+b²=c² erwähnt.
noone Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur:
Ich habe eine Tabelle(erste Folge):
code:
1:
2:
3:
n     0    1    2    3    4  ...
G(n)  3    7    11  15   19 ...


zweite Folge:
code:
1:
2:
3:
n     0    1    2    3    4  ...
G(n)  2    8    18  32   50 ...



Btw: @ therisen: Ich habe leider nicht so viele Rechte wie du, als dass ich 5 Bilder in ein Post packen koennte. Ich durfte nur ein Bild pro Post.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beginn reicht nicht, du brauchst auch ein allgemeines Bildungsgesetz. Ansonsten nenne ich dir für jeden der beiden Fälle eine weitere Bildungsvorschrift, die auch diesen Anfängen Genüge tut.

1)

2)

Du darfst Induktion (von ein paar Beispielen auf die Allgemeinheit schließen) nicht mit Vollständiger Induktion verwechseln.
noone Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich denn jetzt gezeigt?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Du darfst Induktion (von ein paar Beispielen auf die Allgemeinheit schließen) nicht mit Vollständiger Induktion verwechseln.


Blöde Frage von mir: Was ist der Unterschied zwischen Induktion und vollständiger Induktion?
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Was Induktion ist, hat Arthur Dent ja schon gesagt (ist afaik auch das, was die Naturwissenschaftler i.a. benutzen; damit kann das Ergebnis natürlich nur unsicher sein). Vollständige Induktion dagegen ist eine mathematisch einwandfreie Beweismethode (also mit notwendigerweise richtigen Ergebnissen).
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