Gleichmäßige Stetigkeit

15.06.2005, 15:00

BobTheBuilder

Gleichmäßige Stetigkeit

Hi, nochmal nen Prob bei der Stetigkeit.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Dafür hab ich das Ganze mal zerlegt und will zeigen das $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ auf [0,1] und auf (1,unendlich) stetig ist.

Das mit (1,unendlich) hab ich hinbekommen aber für [0,1] find ich einfach keinen passenden Ansatz.

Danke für Hilfe.

PS: Ich bräuchte in meinem anderen Post auch noch nen bissl Hilfe *gg*

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18518

15.06.2005, 16:10

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Kann es sein, dass du "gleichmäßig stetig" mit "Lipschitz-stetig" verwechselst? Der Beweis für letzteres klappt nämlich im Intervall [0,1] nicht, ganz einfach weil es dort nicht stimmt.

Wie lautet denn dein Beweis für (1,unendlich) ?

15.06.2005, 16:33

BobTheBuilder

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Nein das mein ich nicht. Mein wirklich nur gleichmäßige stetigkeit.

Also für (1,unendlich)

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|\sqrt{x}- \sqrt{y}|= |\sqrt{x}- \sqrt{y}|\frac{|\sqrt{x}+ \sqrt{y}|}{|\sqrt{x}+ \sqrt{y}|} = \frac{1}{|\sqrt{x}+ \sqrt{y}|}|x-y| \leq \frac{1}{2min\{\sqrt x , \sqrt y\}} |x-y| \leq 1/2 |x-y| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \delta = 2\varepsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq 1/2 |x-y| \leq 1/2\delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

q.e.d.

hab mal die Definitionen wie x elemt von ... usw weg gelassen aus Zeit Gründen.

15.06.2005, 16:47

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Vielleicht kennst du nur einfach den Begriff der Lipschitz-Stetigkeit nicht, aber dein Beweis zeigt gerade diese Lipschitz-Stetigkeit im Intervall (1,unendlich), mit L = 1/2 .

Beim Beweis der gleichmäßigen Stetigkeit muss das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht notwendig linear vom $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen! Das klappt im Intervall [0,1] auch gar nicht, deswegen bist du gescheitert.

Im übrigen dürfte dich dann folgender Thread interessieren: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=11787

15.06.2005, 17:17

BobTheBuilder

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In der Annahme das ich was falsch gelernt hab vom Prof aber bei der gleichmäßigen stetiglkeit ist das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ 100% abhängig vom $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Und es mag zwar so aussehen wie Lipschitz-stetigkeit, doch die Beweise zur gleichmäßigen stetigkeit sehen bei uns so aus. Hammer

Nuja was du in dem ander Threat gemacht hast weis ich nicht so genau. wolltest du zeigen das die Fkt. stetig ist und dann da ja das intervall abgeschlossen und beschränkt ist auch gleichmäßig?

wenn ja kannst dus vielleicht nochmal erläutern?

15.06.2005, 17:28

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Zitat:

Original von BobTheBuilder
In der Annahme das ich was falsch gelernt hab vom Prof aber bei der gleichmäßigen stetiglkeit ist das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ 100% abhängig vom $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

100%ig heißt bei dir also linear? Und glaub mir, oder lies die Wikipedia-Seite durch, du hast Lipschitz-Stetigkeit bewiesen. Das ist ja sogr noch mehr als gleichmäßige Stetigkeit, denn aus Lipschitzstetigkeit folgt gleichmäßige Stetigkeit!

Der Haken ist nur, dass du das nur für [1,unendlich) geschafft hast, und nicht wie gefordert für [0,unendlich).

Den verlinkten Thread kommentiere ich nicht nochmal - ich würde mich nur wiederholen. Es sei denn, du hast sehr konkrete Fragen zu einzelnen Punkten.

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