Dualismus? Kanonische Basis!

15.06.2005, 15:12	Formelhai	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualismus? Kanonische Basis! Hallo, ich bräuchte eure Hilfe. Ich hab Definitionen hoch und runter gewälzt, und alles ausprobiert aber ich finde einfach keinen Ansatz für folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Basis des ( $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ ), die dual ist zur kanonischen Basis { $\begin{eqnarray} e_1,...,e_n \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ .
15.06.2005, 17:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualismus? Der Begriff ist mir aus der Geschichte oder Philosophie bekannt (preußisch-österreichischer Dualismus). Ich denke, du meinst Dualität. Man kann das ja verschieden anpacken. Aber ich nehme einmal an, daß $\begin{eqnarray} \left(\mathbb{R}^n\right)^{} \end{eqnarray}$ als Vektorraum der Linearformen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eingeführt wurde. Eine Linearform ist vollständig bestimmt, wenn ihre Wirkung auf den Vektoren einer Basis bekannt ist. Dann definiere für $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ die Linearform $\begin{eqnarray} \varepsilon_i \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \varepsilon_i(e_j) = \delta_{ij} \, , \ 1 \leq j \leq n \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} \delta_{ij} \end{eqnarray}$ das Kronecker-Symbol. Weise nach, daß $\begin{eqnarray} \left( \left. \varepsilon_i \, \right\| \, 1 \leq i \leq n \right) \end{eqnarray*}$ eine Basis des Dualraumes ist.

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