Jacobimatrix

15.06.2005, 15:20	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobimatrix Hi! Ich beschäftige mich z.Z. mit der Jacobimatrix und bin mir im Umgang mit ihr noch nicht ganz sicher, z.Bsp. $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2,x_3) = \frac{(x_1,x_2,x_3)}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,x_3) \not = 0 \end{eqnarray}$ ich habe die Jacobimatrix jetzt wiefolgt bestimmt: $\begin{eqnarray} f'(x_1,x_2,x_3) = \left (~\frac{-x_1+x_2+x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2},~\frac{x_1-x_2+x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2},~\frac{x_1+x_2-x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2}~ \right ) \end{eqnarray}$ ist das so richtig? Im Prinzip wird ja die Funktion einmal in jede Richtung abgeleitet, dadurch werden ja die Variablen, in welche nicht abgeleitet wird, zu konstanten.
15.06.2005, 17:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ als Zeilen- und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ als Spaltenindex, definiert durch $\begin{eqnarray} f'(x_1,x_2,x_3) = \left( \frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}} \right)_{1 \leq i,j \leq 3} \end{eqnarray}$ Konkret heißt das, wobei ich der Übersichtlichkeit halber $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray}$ schreibe: $\begin{eqnarray} f'(x,y,z) = \frac{1}{\left( x^2+y^2+z^2 \right)^2}\begin{pmatrix} -x^2+y^2+z^2 & -2xy & -2xz \\ -2xy & x^2-y^2+z^2 & -2yz \\ -2xz & -2yz & x^2+y^2-z^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
15.06.2005, 19:40	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
aha! hab's kapiert. man sollte lieber $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2,x_3) = \left \{ \begin{matrix} \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \\ \frac{x_2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \\ \frac{x_3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{matrix} \right . \end{eqnarray}$ schreiben. dann ist es klar! vielen dank!

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