lineare unabhängigkeit

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humpenau Auf diesen Beitrag antworten »
lineare unabhängigkeit
servus,
wenn man zeigen soll, dass {1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x)} lin. unabh. sind, reicht dann als begründung, zu sagen, dass sich jede einzelne funktion nicht linear durch eine andere kombinieren lässt, so dass die funktionen paarweise lin. unabh. sind und damit alle lin. unabh.?

ich weiß nämlich nicht, wie man es eleganter beweisen kann Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich vermute es geht um den vektorraum reeller funktionen!? das also als elemente davon!?
dann sagt paarweise lineare unabhängigkeit natürlich gar nichts aus.......

mfg jochen
humpenau Auf diesen Beitrag antworten »

ja,genau darum geht es.
hat vielleicht jemand nen tip zum beweis hierfür`?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

den Ansatz liefer ich dir noch, da hilft mir meine lineare algebra noch
danach klinke ich mich aus, dann muss man da wohl trigonometrische umformungen drauf lassen

a*1+b*sin(x)+c*cos(x)+d*(sin(2x))+e*(cos(2x))=0 <-- nullfunktion, also 0 für alle x

zeige, dass die gleichung nur für a=b=c=d=e=0 gilt

ich denke, der ansatz ist klar und bekannt!?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit ist z.B., einen passenden Prähilbertraum ( = Vektorraum mit Skalarprodukt) zu finden, auf dem alle diese Funktionen ein Orthogonalsystem bilden, d.h., alle sind von Null verschieden und haben paarweise jeweils das Skalarprodukt Null. Das ist für das konkret vorliegende Beispiel sicher der eleganteste Weg.


Eine zweite Möglichkeit ist universeller anwendbar, dafür aber rechenaufwändiger und meist weniger elegant: Wenn du nur endlich viele, sagen wir n Funktionen hast, dann reicht es z.B. aus, n Argumente anzugeben, so dass



gilt. Das klappt auch für unendlich viele Funktionen, in diesem Fall musst du das für jede endliche Auswahl nachweisen.
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