grenzwert

17.01.2008, 02:25

bishop

grenzwert

moin, ich habe wieder so einen leidigen Grenzwert vor mir, ich komm einfach nich klar damit -.-
so sieht er aus: $\begin{eqnarray*} lim_{x\to 2}\frac{exp((x²-4)-1)}{x²-x-2} \end{eqnarray*}$
Durch ein bisschen geplotte denke ich, dass der Grenzwert nicht existiert, weil die Funktion bei x=2 eine Polstelle hat.
Andererseits sieht das ganze so vielversprechend aus, wg $\begin{eqnarray*} ... = \frac{exp((x-2)(x+2)-1)}{(x-2)(x+1)} \end{eqnarray*}$ , allerdings sehe ich da den weg wie ich weitermachen könnte nicht.
Aber angenommen, der Grenzwert existiert tatsächlich nicht, wie argumentiere ich da? Ich hätte gesagt, dass der Zähler irgendwas konstantes ist bei x=0 (1/e) und der nenner geht gegen null. Also sollte das Ganze gegen unendlich gehen, aber ist das so legitim?

gruß, bishop

17.01.2008, 03:59

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die Funktion so? Würde die -1 im Zähler außerhalb der exp Funktion stehen, wäre das ganze nämlich interessanter Augenzwinkern

Aber falls das alles so stimmt, kann man das schon so sagen wie du schreibst. Ich würde vielleicht noch anbringen, dass $\begin{eqnarray*} x^2>x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ und daher der Nenner positiv ist, während der Zähler stets positiv ist. Damit das Vorzeichen von dem Unendlich auch eindeutig ist.

17.01.2008, 14:12

bishop

Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, ich sehe grad, dass ich den Limes etwas falsch angegeben hab, da sieht man mal, was eine Klammer zuviel alles machen kann -.-

der korrekte Term ist $\begin{eqnarray*} lim_{x\to 2}\frac{exp(x²-4)-1}{x²-x-1} \end{eqnarray*}$
Habe es selbst grad erst gesehen, und die ganze Zeit falsch gerechnet. Da kommt ja 0/0 raus, also macht man den guten l'hospital und bekommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x(exp(x²-4)}{2x-1}=\frac{exp(x²-4)}{1-\frac{1}{2x}} \end{eqnarray*}$
Lasse ich hier x gegen 2 gehen erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt das Ergebnis jetzt? Weil als ich die Funktion geplottet habe, habe ich ein Pol erhalten, aber da wars warscheinlich der selbe Klammernfehler

gruß

€dit: nochmaliger plot hat gezeigt, dass das ganze tatsächlich gegen 4/3 geht. Bräuchte nur noch eine kurze bestätigung, dass alle Rechenschritte korrekt waren

17.01.2008, 14:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnung ist ok. Das Kürzen durch 2x konntest du dir aber sparen. Augenzwinkern

17.01.2008, 22:23

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehste, hab ich mir fast gedacht, das sah nämlich (wenn die Klammern nicht so wären) schwer nach L'Hospital aus Augenzwinkern

17.01.2008, 23:25

Rusty.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bishop
tut mir leid, ich sehe grad, dass ich den Limes etwas falsch angegeben hab, da sieht man mal, was eine Klammer zuviel alles machen kann -.-

der korrekte Term ist $\begin{eqnarray*} lim_{x\to 2}\frac{exp(x²-4)-1}{x²-x-1} \end{eqnarray*}$
Habe es selbst grad erst gesehen, und die ganze Zeit falsch gerechnet. Da kommt ja 0/0 raus, also macht man den guten l'hospital und bekommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x(exp(x²-4)}{2x-1}=\frac{exp(x²-4)}{1-\frac{1}{2x}} \end{eqnarray*}$
Lasse ich hier x gegen 2 gehen erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt das Ergebnis jetzt? Weil als ich die Funktion geplottet habe, habe ich ein Pol erhalten, aber da wars warscheinlich der selbe Klammernfehler

gruß

€dit: nochmaliger plot hat gezeigt, dass das ganze tatsächlich gegen 4/3 geht. Bräuchte nur noch eine kurze bestätigung, dass alle Rechenschritte korrekt waren

müsste das da nicht $\begin{eqnarray*} x^{2} - x - 2 \end{eqnarray*}$ im Nenner heißen oder bin ich da falsch?

18.01.2008, 08:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ein Schreibfehler. smile

Neue Frage »

Antworten »

grenzwert

Verwandte Themen