Beweisproblem Bijektivität |
17.01.2008, 09:26 | Mathematica | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweisproblem Bijektivität Ich knoble gerade an einem Beweis der Bijektivität einer Funktion mit gegebenen Eigenschaften. Wäre für eure Hilfe sehr dankbar. Sei eine auf den erweiterten reellen Zahlen, , definierte Funktion, die (streng) monoton steigend (und damit auch stetig?) ist und die Grenzwerte und besitzt ( - sogar größer (gleich) als null); (abgeschlossenes Intervall). Dann folgt aus dem Zwischenwertsatz (sind auch die erweiterten reellen Zahlen abgeschlossen?), dass jeden Wert des Wertebereichs mindestens einmal annimmt. Weiter folgt aus der Monotonieeigenschaft, dass jeder Wert genau einmal angenommen wird. ist damit bijektiv und besitzt eine eindeutige Umkehrfunktion. Was ist für den Beweis notwendig, was fehlt noch pder müsste anders? Vielen Dank für eure Kommentare! |
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17.01.2008, 10:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Streng monton steigen, heißt imho: Das würde imho aber keine Stetigkeit implizieren: |
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17.01.2008, 10:27 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wähle f=0 auf [-oo,0] und f=1 sonst. Ist diese Funktion bijektiv? |
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17.01.2008, 10:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Beispiel ist in Hinsicht auf das Ziel der Bijektion noch drastischer. Aber WebFritzi, wo ist denn da die strenge Monotonie geblieben? Das war doch eine Funktionseigenschaft? Naja, andererseits hat er das (streng) eingeklammert, also würde es auch gehen. Ich frage mich, wie die "wirkliche" Aufgabenstellung lautet. Also "Beweise ...." kann ich mir nicht vorstellen. LG |
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17.01.2008, 14:10 | Mathematica | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal vielen Dank für eure Antworten, ich sehe es geht nicht ohne Stetigkeit, das hilft schonmal. Und weiter sei strenge Monotonie unterstellt. Eine Aufgabe gibt es nicht, weil ich das Studium (leider nicht Mathe) hinter mir habe und das ein Problem meiner Dissertation(auch nicht Mathe) ist... Wenn man also die obigen beiden Modifikationen bezüglich der Stetigkeit und Monotonie vornimmt, wie sieht's dann aus? Als Beispiel kann man sich übrigens die Verteilungsfunktion der Normalverteilung vorstellen, die geht von bis , ist stetig und streng monoton steigend. Reicht jetzt der Zwischenwertsatz (natürlich in Verbindung mit der Monotonie), um zu sagen dass diese bijektiv auf dem Intervall ist? |
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17.01.2008, 14:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was suchst Du denn eigentlich. Hast Du eine Funktion gegeben, und willst von dieser zeigen, dass sie bijektiv ist? Stell doch mal das konkrete Problem in deiner Dissertation, vielleicht können wir dann helfen. |
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17.01.2008, 16:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du dir denn keine streng monotone Funktion mit Sprungstelle vorstellen? |
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17.01.2008, 16:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wen meinst Du, Chuck? |
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17.01.2008, 18:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mathematica |
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17.01.2008, 19:51 | Mathematica | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo tigerbine, WebFritzi! Also zu deiner Anfrage, tigerbine, leider kann ich keine explizite Funktion angeben, weil sich eine ganze Klassen von Funktionen ergibt. Aber die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist ein perfektes exemplarisches Beispiel, beschrankt mit unterer Schranke null (für minus unendlich) und oberer Schranke eins (für plus unendlich). Dazwischen stetig und streng monoton steigend. Das ist damit auch die Antwort auf deine Frage, WebFritzi, die Funktion ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich, das Problem was sich bei Unstetigkeit ergeben würde, ist klar, der Zwischenwertsatz und somit auch eine Spezialisierung dessen würden nicht mehr gelten. Also die Frage in kompakter Form: Ist eine stetige, streng monoton steigende Funktion bijektiv? Ich würde ganz klar sagen ja, und dass genau diese Annahmen auch ausreichen um die Frage zu bejahen. Stetigkeit ist bewiesen (nicht von mir) und auch strenge Monotonie unter einer Zusatzannahme (auch nicht von mir). Das Problem was sich dann noch stellt, Bijektivität sichert die Existenz einer Umkehrfunktion. Kann es aber sein, dass sich diese nicht analytisch lösen lässt? Ein kleines Beispiel: , Aufzulösen nach . |
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17.01.2008, 20:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn a und b so definiert sind wie in deinem ersten Beitrag, stimmt das so. |
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17.01.2008, 22:48 | Mathematica | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, vielen Dank. Und das Auflösen zur Umkehrfunktion ist wohl nicht in jedem Fall möglich? |
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17.01.2008, 23:05 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein |
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