[Artikel] Basiswechsel

17.01.2008, 10:39

tigerbine

[Artikel] Basiswechsel

In diesem Artikel möchte ich zeigen, wie man die Matrix eines Basiswechsels berechnen kann. Dazu nehme ich mir folgende im Forum gestellte Aufgabe als Beispiel:

Zitat:

Es sei V ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} w_1 = 2v_1-v_2-v_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} w_2 = -v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_3 = 2v_2+v_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

Geben sie die Matrix an, die den Koordinaten bezüglich $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ eines beliebigen Vektors in V die Koordinaten bezüglich $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ zuordnet.

Also man hat die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ der Basis B als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ der Basis A gegeben:

$\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 0 \cdot v_1 +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

Tragen wir das jetzt mal spaltenweise in eine Matrix S ein. Hat S vollen Rang, so bilden auch die Vektoren w eine Basis.

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 2&-1&-1 \\ 0&-1&0 \\ 0&+2&1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ -1&-1&2 \\ -1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Des weiteren betrachten wir die Koordinatensysteme (Abbildungen)

$\begin{eqnarray*} \phi_A: \mathbb K^3 \rightarrow V, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \rightarrow x_1\cdot v_1 + x_2\cdot v_2+ x_3\cdot v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_B: \mathbb K^3 \rightarrow V, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2,y_3) \rightarrow y_1\cdot w_1 + y_2\cdot w_2+ y_3\cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die gesuchte Matrix T des Basiswechsels A -> B der Abbildung:

$\begin{eqnarray*} T: \mathbb K^3 \rightarrow \mathbb K^3, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} T:=\phi^{-1}_B \circ \phi_A \end{eqnarray*}$

Wenden wir uns aber zunächst noch einmal der Matrix S zu. Diese stellt den Basiswechsel B -> A dar:

$\begin{eqnarray*} S: \mathbb K^3 \rightarrow \mathbb K^3, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S:=\phi^{-1}_A \circ \phi_B \end{eqnarray*}$

Den Beweis hierzu kann man z.B. in Fischer, Lineare Algebra S. 89 nachlesen.

Wichtig erscheint mir, dass man sich klar macht, was die Matrizen S,T darstellen.

$\begin{eqnarray*} T=M^A_B(id_v) \end{eqnarray*}$

D.h. T ist eine Matrix, die bzgl. der Basen A und B die identische Abbildung von V darstellt. D.h. wir geben die Koordinaten eines Vektors aus V bzgl. der Basis A ein und erhalten als Ergebnis die Koordinaten dieses Vektors bzgl. der neuen Basis B. Dementsprechend:

$\begin{eqnarray*} S=M^B_A(id_v) \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung der Transformationsmatrix T des gesuchten Basiswechsels gilt meist folgende praktische Anleitung:

1. Die neue Basis ist als LK der alten Basis gegeben
2. Übertrage diese Koeffizienten wie oben gezeigt und stelle die S auf
3. Für die gesuchte Matrix T gilt $\begin{eqnarray*} T = S^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 0.5 & 0&0 \\ 0.5 & -1&2 \\ 0.5 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hilfe bei der Berechnung der Inversen Matrix findet ihr bei unseren MatheTools: Inverse Matrix Applet

Mittels dieses Wissens kann man auch Aufgaben lösen, die eine Matrixdarstellung bzgl. einer Basis B1 in eine Darstellung bzgl einer Basis B2 fordern. Dazu das folgende Schema verwenden.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

update Mit Basiswechsel2 kann man nun auch einfach die beiden Basen eingeben, ohne dass die eine bzgl. der anderen dargestellt sein muss.

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