Frage zu Idealen

15.06.2005, 19:45

Powell

Frage zu Idealen

Hi, habe folgende Aufgaben zu Idealen bekommen:

1)
Es sei (R,+,*) ein komm. Ring mit Einselement 1 und a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R.
Ich soll nun zeigen, das:
a) $\begin{eqnarray*} (a) := \{ r * a | r \in R \} \end{eqnarray*}$ ein Ideal in R mit $\begin{eqnarray*} a \in (a) \end{eqnarray*}$ ist. (a) heißt das von a erzeugte Hauptideal, und R heißt ein Hauptidealring, wenn es zu jedem Ideal I von R ein $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ mit I = (a) gibt.
b) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und K[X], wobei ein K ein Körper ist, sind Hauptidealringe.

2)
Sei R ein komm. Ring mit 1, $\begin{eqnarray*} R \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ .
Zu Zeigen: R ist genau dann ein Körper, wenn (0) und R die einzigen Ideale von R sind. (Tipp: Man kann die oben definierten Ideale (a) für $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ betrachten.)

Aufgabe 1)a) hab ich noch lösen können, bei b) hänge ich. Zu 2 habe ich noch garnichts zu Stande bekommen, irgendwie mussi ch ja zeigen, dass zu jedem Element $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in R \end{eqnarray*}$ existiert. Zusätzlich noch das Distributivgesetz zeigen und ich hab meinen Körper.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

15.06.2005, 21:30

bil

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RE: Frage zu Idealen

Zitat:

Original von Powell
2)
Sei R ein komm. Ring mit 1, $\begin{eqnarray*} R \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ .
Zu Zeigen: R ist genau dann ein Körper, wenn (0) und R die einzigen Ideale von R sind.

hi...
also bei der b musst du die dir die definition vom hauptideal genau anschaun und überlegen wieso Z und K[X] es sind.
zur 2)
also sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ körper dann sind nur $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die einzigen ideale von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ da
wenn $\begin{eqnarray*} I\subseteq K \end{eqnarray*}$ ideal ist und $\begin{eqnarray*} I\neq 0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ es gibt ein $\begin{eqnarray*} x~\epsilon~ I, x\neq 0\Rightarrow x~ \epsilon~K^*, etwa~ yx=1_K,~y~\epsilon~ K\Rightarrow (I~ ideal)~ yx~\epsilon~ I\Rightarrow 1_K~\epsilon~ I\Rightarrow K\cdot 1_K=K\subseteq I\Rightarrow I=K \end{eqnarray*}$

also das sollte die 2) mehr oder weniger sein.
zur notation: $\begin{eqnarray*} x~\epsilon~ K^* \end{eqnarray*}$ bedeutet x ist invertierbar.
und $\begin{eqnarray*} 1_K \end{eqnarray*}$ ist das neutrale element von K.
mfg bil

ps: (warum geht der befehl \newline hier nicht? und wie ist nochmal der befehl für "es gibt"???)

15.06.2005, 23:07

Powell

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Danke Bil, das sieht schonmal gut aus smile

Fehlt noch die Gegenrichtung, also wenn R nur diese 2 Ideale hat. Werd mir da morgen nochmal Gedanken zu machen, jetzt wo man die eine Richtung kennt, fällt die andere meistens ja auch etwas leichter.

16.06.2005, 01:12

JochenX

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Zitat:

ps: (warum geht der befehl \newline hier nicht? und wie ist nochmal der befehl für "es gibt"???)

huhu bil, unregistriert wie immer

neue zeile im tex mit "\\"
und es gibt meinst du wohl: "\exists" $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$

mfg jochen

16.06.2005, 09:40

bil

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RE: Frage zu Idealen
danke loed \exists meinte ich. aber bei \\ macht er zwar eine neue zeile aber
setzt die neue zeile nicht an den anfang. siehe:
zb.
$\begin{eqnarray*} xxxxxxxxxxxxxx\\x\\x \end{eqnarray*}$
kann man das irgendwie verhindern?

mfg bil

16.06.2005, 10:19

JochenX

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RE: Frage zu Idealen
hier haben wir da schon was zum thema zeilenumsprünge
da kannst du noch mitmischen und matheblaster nerven smile

das was du da ansprichst mit dem nichtzeilenanfang war mir aber neu geschockt

siehe mein beispiel im anderen thread

edit: naja zur not texen, tex fertig ENTER neu texen, tex fertig, ENTER usf

16.06.2005, 10:28

bil

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RE: Frage zu Idealen
ja das mit dem zeilenumbruch ist etwas komisch,naja...

Zitat:

naja zur not texen, tex fertig ENTER neu texen, tex fertig, ENTER usf

die alternative kannte ich zwar aber sollte auch erstmal reichen. ob ich \newline eintippe oder ein neues tex beginne kommt eh aufs gleiche raus.

danke für die antwort,
bis dann
bil

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