lineare Abbildungen lineare Unabhängigkeit

17.01.2008, 11:39

hasesh

lineare Abbildungen lineare Unabhängigkeit

Es seien K ein Körper, v = $\begin{eqnarray*} (x_1,...,x_n) \in K^n \end{eqnarray*}$ und w = $\begin{eqnarray*} (y_1,...,y_2) \in K^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ .

Ferner betrachten wir für $\begin{eqnarray*} i \in \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {0} die folgenden Abbildungen von K auf sich selbst:

$\begin{eqnarray*} f_i(x) = x^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_i(x) = x^i + 1 \end{eqnarray*}$

Hierbei setzen wir $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K.

1. Ist $\begin{eqnarray*} w \ne s*v \end{eqnarray*}$ für alle s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K, so ist die Familie (v, w) linear unabhängig.

2. (vw) ist genau dann linear unabhängig, wenn es i und j gibt mit $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \le j \le n \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} x_i y_i \ne x_j y_i \end{eqnarray*}$ gilt.

3. Ist K = Q und $\begin{eqnarray*} x_i = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i = - i +1 \end{eqnarray*}$ (jeweils für $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ , so ist (v, w) linear abhängig.

4. Für K = $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ist { $\begin{eqnarray*} g_0, g_1 \end{eqnarray*}$ } Basis von Abb( $\begin{eqnarray*} F_2, F_2 \end{eqnarray*}$ )

Nun denn:

zu 1.
Wenn hiermit die Linearkombinationen gemeint sind, würde ich sagen: Ja, dann ist die Familie (v, w) linear unabhängig.

zu 2.
Das reicht m.E. nicht für lineare Unabhängigkeit aus, dass einzelne Elemente gibt, für die das gilt. Also nicht unabhängig.

zu 3.
$\begin{eqnarray*} s*x_i + t*y_i = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Ansatz?

zu 4.
Wenn das eine Basis ist, dann müssten alle Elemente erzeugt werden können aus LK der Basisvektoren.

Kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ aus der angegebenen Basis erzeugen?

$\begin{eqnarray*} s*g_0 + t*g_1 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s*1 + t*(x+1) = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

lösbar für s= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und t=0.

würde also schliessen, dass alle Elemente aus Q damit darstellbar wären.

=> Ja, es ist eine Basis.

Würde mich über Antworten, Hinweise... freuen!!

17.01.2008, 12:58

WebFritzi

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RE: lineare Abbildungen lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von hasesh
2. (vw) ist genau dann linear unabhängig, wenn es i und j gibt mit $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \le j \le n \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} x_i y_i \ne x_j y_i \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist das so richtig abgeschrieben?

Zitat:

Original von hasesh
zu 1.
Wenn hiermit die Linearkombinationen gemeint sind, würde ich sagen: Ja, dann ist die Familie (v, w) linear unabhängig.

Gegenbeispiel: v = 0

Zitat:

Original von hasesh
zu 2.
Das reicht m.E. nicht für lineare Unabhängigkeit aus, dass einzelne Elemente gibt, für die das gilt. Also nicht unabhängig.

Wenn da ein i zuviel ist und ein j zu wenig, dann ist Aussage 2 richtig.

Zitat:

Original von hasesh
zu 3.
$\begin{eqnarray*} s*x_i + t*y_i = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Ansatz?

Wofür?
Die Aussage 3 ist nur für den Fall n=1 richtig. Sonst ist sie falsch.

Zitat:

Original von hasesh
Kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ aus der angegebenen Basis erzeugen?

Ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} {\rm Abb}(F_2,F_2)? \end{eqnarray*}$

17.01.2008, 18:10

hasesh

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vielen dank!

Aufgabenteil 2 lautet richtig:

(v, w) ist genau dann linear unabhängig, wenn es i und j gibt mit

$\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \le j \le n \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} x_i y_j \ne x_j y_i \end{eqnarray*}$ gilt.

ich glaube, ich hatte da einen Abschreibfehler gemacht.

=> (v, w) ist nicht linear unabhängig bzw. (v, w) ist linear abhängig.

stimmt das?

zu 4.

$\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ bedeutet, einen zweidimensionalen Raum. Jetzt frage ich mich allerdings wie ich den beschreiben soll...

$\begin{eqnarray*} (v_1 , w_1) = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basisvektoren wären dann...

$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2 = \begin{pmatrix} x+1 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich (z.B.) untersuchen:

$\begin{eqnarray*} r*b_1 + s*b_2 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder wie? Und die Frage bleibt, ist das eine Basis des $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Würde es nicht reichen, die beiden Basisvektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen?

17.01.2008, 19:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von hasesh
=> (v, w) ist nicht linear unabhängig bzw. (v, w) ist linear abhängig.

stimmt das?

Nein, dazu hatte ich dir auch schon etwas geschrieben. Aber wenn du nicht liest, ...

Zitat:

Original von hasesh
zu 4.

$\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ bedeutet, einen zweidimensionalen Raum.

Nun, das glaube ich weniger...

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