Komplexe Zahlen

15.06.2005, 20:59

Alex83

Komplexe Zahlen

Hallo Leute.

Ich habe da eine kleine Frage.

Ich habe gar keine Erfahrung mit Komplexen Zahlen.

Wie löse ich folgende Gleichung in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -4=x^2 \end{eqnarray*}$

Bitte helfen.

15.06.2005, 21:00

JochenX

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Wurzel ziehen

dabei bekommst du |x|=.....
bedenke: i^2=-1

15.06.2005, 21:02

Steve_FL

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Hallo

Ich würde folgendermassen vorgehen:

-4 = (-1) * 4

und deshalb:
$\begin{eqnarray*} (-1) \cdot 4 = x^2 \end{eqnarray*}$

hilft dir das weiter?

15.06.2005, 21:06

Alex83

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Nun jetzt habe ich: $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$

Das bringt mich auch nicht weiter.

15.06.2005, 21:23

Alex83

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Könne es sei das

$\begin{eqnarray*} x_1= 2+i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2= -2+i \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2005, 22:01

JochenX

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wieso denn +?
gehst du nach system vor oder rätst du?

15.06.2005, 22:07

Alex83

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Achso alle klar.

weil (-1)*4 deshalb 2*i und -2*i.

RICHTIG?

15.06.2005, 22:25

bil

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hi...
nimm deine lösunge doch einfach mal zum quadrat, wenn 4 rauskommt dann ist es richtig Augenzwinkern

mfg bil

15.06.2005, 22:25

bil

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-4 meinte ich natürlich...
mfg bil

15.06.2005, 23:02

Powell

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RE: Komplexe Zahlen
Hi, du weißt doch sicher: i² = -1
Jetzt kannst du ja deine Gleichung umschreiben:
$\begin{eqnarray*} -4=x^2 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} i^{2}*4 = x^{2} \end{eqnarray*}$ , davon kannst du jetzt mühelos die Wurzel ziehen:
<=> $\begin{eqnarray*} i*\sqrt{4}=x \end{eqnarray*}$

Die Wurzel aus 4 ist aber ja bekanntlich $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ . So erhältst du also hier relativ leicht deine Lösung.

Hier gibts auch nen kleinen "Workshop" zu den komplexen Zahlen:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=4616 vll wirst du danach schlauer smile

16.06.2005, 00:33

JochenX

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altenativ

-4 hat betrag 4 und argument 180°
wurzel aus -4 hat wurzel(betrag(-4)) als betrag, also 2; argument 90°, also 2i

damit: x^2=-4 wurzel ziehen
|x|=2i

usf.....

18.06.2005, 14:35

Mathespezialschüler

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Verschoben

18.06.2005, 15:10

iammrvip

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Powell
Hi, du weißt doch sicher: i² = -1
Jetzt kannst du ja deine Gleichung umschreiben:
$\begin{eqnarray*} -4=x^2 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} i^{2}*4 = x^{2} \end{eqnarray*}$ , davon kannst du jetzt mühelos die Wurzel ziehen:
<=> $\begin{eqnarray*} i*\sqrt{4}=x \end{eqnarray*}$

Der Schritt muss aber dann lauten:

$\begin{eqnarray*} -4 = x^2 \Leftrightarrow \mathrm i^2\cdot 4 = x^2 \Leftrightarrow \mathrm i\left(\pm\sqrt 4\right) = x \end{eqnarray*}$

weil

$\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \neq -2 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = -2 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \end{eqnarray*}$ erfüllen Augenzwinkern

19.06.2005, 00:28

Fassregel

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RE: Komplexe Zahlen
Warum ist die Wurzel von 4 ungleich -2?

Betrachten wir die Zahl z=4 mal in der Polarform: $\begin{eqnarray*} z=4(cos360°+i*sin360°) \end{eqnarray*}$

Jetzt ziehen wir die Wurzel daraus, also ziehen die Wurzel aus dem Betrag und halbieren die Argumente:
$\begin{eqnarray*} z_1=2(cos180°+i*sin180°)=2(-1+i*0)=-2 \end{eqnarray*}$
Es gilt für die Wurzel einer komplexen Zahl: $\begin{eqnarray*} z_2=-z_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z_2=-(-2)=2 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht ist das eine zu naive Herangehensweise (ein bisschen komplexe Zahlen in der 13. dieses Jahr), ich lasse mich gerne eines besseren belehren!

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