Gauss-Integral

17.01.2008, 13:11	Dani23	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss-Integral Hi zusammen, Ich stehe vor folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R^n}^{}~ e^{{-\mid\mid x \mid\mid}^2}~dx \end{eqnarray}$ Soweit ich weiss heisst dieses Integral Gauss-Integral (sicher bin ich mir nicht). Beim Lösen bin ich nun so vorgegangen: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R^n}^{}~ e^{{-\mid\mid x \mid\mid}^2}~dx = \int_{\mathbb R^n}^{}~ e^{{-\sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}}^2}~dx = \int_{\mathbb R^n}^{}~ e^{-x_1^2 - ... - x_n^2}~dx \end{eqnarray}$ Mit Fubini gilt nun: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R^n}^{}~ e^{-x_1^2 - ... - x_n^2}~dx = \int_{\mathbb R}^{}~ ... \int_{\mathbb R}^{}~ e^{-x_1^2 - ... - x_n^2}~dx_1 ... ~dx_n \end{eqnarray}$ Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Kann mir jemand sagen, was $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R}^{}~ e^{-x^2}~dx \end{eqnarray}$ gibt? Vielen Dank
17.01.2008, 13:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss-Integral Mit Board-Suche kann man auch was passendes finden: Integral
17.01.2008, 14:53	Dani23	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss-Integral Ok, vielen Dank. Bei den Integrationsgrenzen sehe ich aber noch nicht ganz durch. Wie bestimmt man diese beim Schritt $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~e^{-x^2-y^2}~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi}~ \int_{0}^{\infty}~r \cdot e^{-r^2}~\mathrm{d}r ~\mathrm{d}\phi \end{eqnarray}$ ? Gruss
17.01.2008, 15:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss-Integral Links wird über das komplette R² integriert. Entsprechend werden die Integrationsgrenzen so gewählt, daß das auch beim rechten Integral der Fall ist.
17.01.2008, 16:40	Dani23	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es aber im allgemeinen Fall? Der Transformationssatz sagt ja folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left\|\det(D\Phi(x))\right\| \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Deshalb würde mich interessieren, wie man die Integrationsgrenzen im allgemeinen Fall erhalten kann.

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