"geschlossene Form" ???

17.01.2008, 16:06

speedyschmidt

"geschlossene Form" ???

Hey, ihr !!! Wink

Ich hab hier eine Aufgabe zu lösen, weiß aber nicht, was genau zu tun ist.

Ich soll folgende Summen in geschlossener Form darstellen:

(1)

$\begin{eqnarray*} x_n(z)=\sum_{k=0}^n~cos(kz) \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} y_n(z)=\sum_{k=0}^n~sin(kz) \end{eqnarray*}$

Was ist die "geschlossene Form" und wie erlange ich sie?

Dankeschön für Eure Hilfe,

speedy

17.01.2008, 16:58

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Mit "geschlossener Form" ist hier eine Darstellung ohne Summenzeichen gemeint, also wie z.B. bei

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n ~ q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$

Diese Partialsummenformel der geometrischen Reihe ist auch gleich das richtige Stichwort für eine mögliche Lösungsvariante: Beachte dazu

$\begin{eqnarray*} \cos(kz) = \operatorname{Re}\left( e^{ikz} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(kz) = \operatorname{Im}\left( e^{ikz} \right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du ein wenig suchst, findest du hier im Board einige Threads zu genau dieser Aufgabe. Augenzwinkern

17.01.2008, 23:00

speedyschmidt

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Ok, danke. Wink

Bin jetzt auf

$\begin{eqnarray*} x_n(z)+i*y_n(z)=\frac{1-(e^{iz})^{n+1}}{1-e^{iz}} \end{eqnarray*}$

gekommen. Bin ich jetzt fertig? Ist das eine geschlossene Form?

Tut mir leid, aber wir haben das einfach nicht definiert...

17.01.2008, 23:07

tmo

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nein das ist noch keine geschlossene form. ziel ist es ja $\begin{eqnarray*} x_n(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n(z) \end{eqnarray*}$ getrennt anzugeben.

meine idee:
betrachte mal $\begin{eqnarray*} x_n(-z)=x_n(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n(-z)=-y_n(z) \end{eqnarray*}$

18.01.2008, 11:15

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Bin jetzt auf

$\begin{eqnarray*} x_n(z)+i*y_n(z)=\frac{1-(e^{iz})^{n+1}}{1-e^{iz}} \end{eqnarray*}$

gekommen.

Als Zwischenergebnis ist das erstmal richtig. Zur Extraktion von Real- und Imaginärteil empfiehlt sich eine Vereinfachung des Nenners, und zwar durch Erweitern des Bruches mit $\begin{eqnarray*} e^{-i\frac{z}{2}} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_n(z) + i\cdot y_n(z) = \frac{e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)z}-e^{-i\frac{z}{2}}}{e^{i\frac{z}{2}}-e^{-i\frac{z}{2}}} = \frac{e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)z}-e^{-i\frac{z}{2}}}{2\sinh\left(i\frac{z}{2}\right)} = \frac{e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)z}-e^{-i\frac{z}{2}}}{2i\sin\left(\frac{z}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

Das vereinfacht die Rechnung ein wenig - vielleicht sogar deutlich. Augenzwinkern

EDIT: Bevor es Beschwerden gibt: Der Falll $\begin{eqnarray*} z=2m\pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist natürlich extra zu behandeln. Teufel

18.01.2008, 17:44

speedyschmidt

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Dankeschön für die tollen Tipps, jetzt versteh ich, was gesucht ist. Habs zwar ein bisschen anders gemacht, aber dankeschön Freude

18.01.2008, 19:30

speedyschmidt

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Ok habs jetzt nochmal durchgerechnet und komme auf schrecklich krumme ergebnisse, gibts einen einfachen Ausdruck ?

Edit: Auch mit deinem Weg, komm ich auf krumme ergebnisse :-(

18.01.2008, 21:13

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Was verstehst du unter "krumm"? Mit der von mir letztgenannten Formel ist man in ein, zwei Zeilen am Ziel.

21.01.2008, 21:06

speedyschmidt

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Ich kenne nur die Formel:

Re(a)=[a+cg(a)]/2, wobei cg, die komplexe Konjugation ist, und damit wirds kompliziert...

21.01.2008, 21:32

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Und von der Eulerformel $\begin{eqnarray*} e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z) \end{eqnarray*}$ hast du noch nichts gehört? Viel mehr brauchst du doch nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} x_n(z) + i\cdot y_n(z) &=& \frac{\cos\left( \left(n+\frac{1}{2}\right)z \right) + i\cdot\sin\left( \left(n+\frac{1}{2}\right)z \right) - \cos\left( -\frac{z}{2} \right) - i\cdot\sin\left( -\frac{z}{2} \right)}{2i\sin\left(\frac{z}{2}\right)}\\ &=& \frac{\sin\left( \frac{z}{2} \right) + \sin\left( \left(n+\frac{1}{2}\right)z \right)}{2\sin\left(\frac{z}{2}\right)} + i\cdot\frac{\cos\left( \frac{z}{2} \right)-\cos\left( \left(n+\frac{1}{2}\right)z \right)}{2\sin\left(\frac{z}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 17:25

speedyschmidt

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Ja, das hab ich auch schon probiert und habs letztendlich auch so abgegeben. :-)
Mein Problem ist jedoch folgendes: Woher weiß ich jetzt, was xn und yn sind?

Da steht doch jetzt:

a+bi=c+di, wobei a,b,c,d komplex. woher weißt du, dass a zu c gehört und b zu d?

Oder gilt das ganze nur für reelle z?

24.01.2008, 17:34

Mathespezialschüler

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Nunja, das kommt ein wenig darauf an, wie man die komplexen Zahlen 'definiert'. Meistens geschieht dies durch reelle Zahlenpaare, für die eine bestimmte Addition und Multiplikation definiert ist. Und wenn

$\begin{eqnarray*} (a,b)=(c,d) \end{eqnarray*}$

(Gleichheit von Zahlenpaaren) gilt, dann muss nach Definition ebendieser Gleichheit auch $\begin{eqnarray*} a=c,b=d \end{eqnarray*}$ gelten.

26.01.2008, 12:07

speedyschmidt

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Also gilt die Eulerformel nur für reelle Zahlen, richtig?

26.01.2008, 15:58

Mathespezialschüler

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Nein, die Euler-Formel gilt nicht nur für reelle Zahlen, sie gilt auch für komplexe Zahlen. Soweit ich weiß, habt ihr den Sinus und Cosinus definiert durch

$\begin{eqnarray*} \sin z=\frac{\operatorname e^{\operatorname i z}-\operatorname e^{-\operatorname i z}}{2\operatorname i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos z=\frac{\operatorname e^{\operatorname i z}+\operatorname e^{-\operatorname i z}}{2} \end{eqnarray*}$ ,

und zwar für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus den komplexen Zahlen. Daraus folgt die Eulerformel - ebenfalls für alle komplexe Zahlen.

Allerdings verstehe ich dein Problem von oben jetzt. Ich hatte überlesen, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ liegen. MMn bekommst du aus dieser Herleitung die gewünschte geschlossene Darstellung tatsächlich nur für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Für komplexe kann man sie dann entweder durch vollständige Induktion gewinnen oder man geht von Anfang an von den obigen Definitionen aus. Dann hat man zwar etwas mehr zu rechnen, kommt aber zum richtigen Ergebnis.

26.01.2008, 16:02

system-agent

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@MSS
Wenn man aber $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ durch diese Gleichungen für reelle Argumente definiert, dann hat man sie (noch) nicht automatisch auch für $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert.
In $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wird dann zuerst auch eine Exponentialfunktion eingeführt und durch ihre Teilreihen $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ definiert und wenn man dann zeigt, dass die holomorphe Exponentialfunktion mit der in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ für reelle Argumente übereinstimmt, dann ist die Gleichheit gezeigt (Identitätssatz)

26.01.2008, 16:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von system-agent
In $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wird dann zuerst auch eine Exponentialfunktion eingeführt und durch ihre Teilreihen $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ definiert

Mag sein, dass das in deiner Vorlesung so gemacht wurde. Aber das heißt ja nicht, dass das jeder so macht bzw. machen muss. Insofern finde ich dein "wird" als Übertragung auf die Allgemeinheit etwas übertrieben. Was hast du denn an folgendem Aufbau auszusetzen?
Ich definiere für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus den komplexen Zahl die Exponentialfunktion

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^z=\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{z^k}{k!} \end{eqnarray*}$

und anschließend für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Sinus und Cosinus wie oben. Da tritt ein Problem, wie du es angesprochen hast, überhaupt nicht auf.

26.01.2008, 16:11

Leopold

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Gerade aufgrund der von MSS zitierten Definitionen sind Sinus und Cosinus für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als holomorphe Funktionen definiert. Da gibt es keine Probleme.

Wohl aber gibt es Probleme, aus einer Gleichung wie

$\begin{eqnarray*} u_1(z) + \operatorname{i} v_1(z) = u_2(z) + \operatorname{i} v_2(z) \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} u_1(z) = u_2(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1(z) = v_2(z) \end{eqnarray*}$ zu schließen, solange die Werte der Funktionen beliebig komplex sein können. Man darf also in Arthurs letzter Gleichung nicht naiv vorgehen, sondern muß da schon ein paar Gedanken darauf verschwenden ...

26.01.2008, 16:11

system-agent

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@MSS
Na dann musst du aber noch die Eulersche Identität zeigen...

Edit:
Sry, schrieb hier zuerst blödsinniges

26.01.2008, 16:12

Leopold

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Was man definiert, muß man nicht zeigen.

26.01.2008, 16:19

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Ehrlich gesagt bin ich davon ausgegangen, dass es hier in der Aufgabe nur um reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ geht - speedyschmidt hat im Eröffnungsposting kein Wort über komplexe Zahlen verloren ... Insbesondere habe ich diese Aussage

Zitat:

Original von Arthur Dent
Beachte dazu

$\begin{eqnarray*} \cos(kz) = \operatorname{Re}\left( e^{ikz} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(kz) = \operatorname{Im}\left( e^{ikz} \right) \end{eqnarray*}$ .

natürlich nur für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ getroffen.

Vielleicht äußert sich speedyschmidt mal zum Wertebereich von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.01.2008, 16:21

system-agent

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OK, ich hab da grade Probleme gesehen wo keine sind, du hast Recht, wenn man die Holomorphie von deiner Exponentialfunktion gezeigt hat und dann Cosinus und Sinus so definiert passiert nichts...

Bin dann nur gerade am Überlegen wie man am Besten die Reihen für Cosinus und Sinus zeigen kann, aber das ist anderer Thread smile

26.01.2008, 16:26

speedyschmidt

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Tja, das ist mein Problem: In der Aufgabe steht nichts vom Wertebereich, aber unser Prof meinte mal, dass wenns nicht explizit dasteht, er immer die komplexen Zahlen meint...

26.01.2008, 16:29

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sin z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos z \end{eqnarray*}$ sind für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ reell, also auch $\begin{eqnarray*} x_n(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n(z) \end{eqnarray*}$ . Ebenso sind die Bestandteile auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} u_n(z) + \operatorname{i} v_n(z) \end{eqnarray*}$ von Arthurs Gleichung für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ reell. Also kann ein Koordinatenvergleich durchgeführt werden. Aufgrund des Identitätssatzes müssen die Gleichungen, die man erhält, dann aber für beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gelten.

26.01.2008, 16:37

speedyschmidt

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thx, habt mir sehr geholfen :-)

26.01.2008, 16:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von system-agent
OK, ich hab da grade Probleme gesehen wo keine sind, du hast Recht, wenn man die Holomorphie von deiner Exponentialfunktion gezeigt hat und dann Cosinus und Sinus so definiert passiert nichts...

Ich habe keine Ahnung von Holomorphie und trotzdem kann ich sie so definieren, insofern braucht man diese Holomorphie sicher nicht, es sei denn, sie ist nur eine andere Beschreibung für die unbedingte Konvergenz der Potenzreihe.

@Leopold: Schöne Idee mit dem Identitätssatz! smile

Auch wenn man da sicher noch ein wenig rumwerkeln muss ...

26.01.2008, 16:55

system-agent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

@Leopold: Schöne Idee mit dem Identitätssatz! smile

Also kennst die Holomorphie doch smile

26.01.2008, 17:00

Mathespezialschüler

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Ich habe den Begriff schon einmal gehört, weiß aber nicht, was er bedeutet. Ich verstehe unter dem "Identitätssatz" ebendiesen mit gleichem Namen für Potenzreihen. Falls es einen solchen für holomorphe Funktionen geben sollte, so ist mir dieser nicht bekannt und ich kann mit ziemlicher Sicherheit sagen, dass speedyschmidt ihn auch nicht kennt.

edit: Namen verwechselt. Entschuldigung.

26.01.2008, 17:05

system-agent

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Was sagt denn der Identitätssatz für Potenzreihen?

Denn so wie ich Leopolds Beitrag verstanden habe, meinte er den gleichen den ich auch meinte

(vll stell ich mich ja auch grad nur zu dämlich an, in dem Fall nichts für Ungut Augenzwinkern

)

26.01.2008, 17:13

Mathespezialschüler

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Sind

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{i=0}^{\infty}~a_i(z-z_0)^i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sum_{i=0}^{\infty}~b_i(z-z_0)^i \end{eqnarray*}$

die Summenfunktionen zweier Potenzreihen mit gleichem Konvergenzkreis und stimmen die Funktionen auf einer Folge $\begin{eqnarray*} (z_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ überein, deren Glieder $\begin{eqnarray*} \neq z_0 \end{eqnarray*}$ sind und die gegen $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ strebt, d.h. gilt

$\begin{eqnarray*} f(z_k)=g(z_k) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so sind die beiden Funktionen und die beiden Reihen auf dem gesamten Konvergenzintervall vollständig identisch, d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} f(z)=g(z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ des Konvergenzintervalls und $\begin{eqnarray*} a_i=b_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

26.01.2008, 17:19

system-agent

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Dabei sind die Zahlen alle komplex und die Folge $\begin{eqnarray*} (z_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ liegt im Konvergenzkreis?

In dem Fall ist das ein Spezialfall des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen. Dieser besagt soviel wie, wenn man zwei holomorphe Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf einem Gebiet hat und die Menge $\begin{eqnarray*} \{w\in\mathbb C\quad|\quad f(w)=g(w)\} \end{eqnarray*}$ einen Häufungspunkt in dem Gebiet hat, dann gilt schon $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ .
Dabei bedeutet "holomorph" mehr oder weniger "komplex ableitbar"...

27.01.2008, 15:09

Mathespezialschüler

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Ja, dass alle auftretenden Größen komplex sein dürfen und die Folge komplett im Konvergenzkreis liegt, habe ich jetzt nicht als erwähnenswert angesehen. Mag sein, dass es ein solcher Spezialfall ist, aber jedenfalls braucht man den Begriff Holomorphie nicht, denn auch mit dem von mir zitierten Identitätssatz kann man es lösen - sogar, ohne jemals etwas von Differenzierbarkeit gehört zu haben.

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