"geschlossene Form" ???

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speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »
"geschlossene Form" ???
Hey, ihr !!! Wink

Ich hab hier eine Aufgabe zu lösen, weiß aber nicht, was genau zu tun ist.

Ich soll folgende Summen in geschlossener Form darstellen:


(1)




(2)



Was ist die "geschlossene Form" und wie erlange ich sie?

Dankeschön für Eure Hilfe,

speedy
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "geschlossener Form" ist hier eine Darstellung ohne Summenzeichen gemeint, also wie z.B. bei

für

Diese Partialsummenformel der geometrischen Reihe ist auch gleich das richtige Stichwort für eine mögliche Lösungsvariante: Beachte dazu


.

Wenn du ein wenig suchst, findest du hier im Board einige Threads zu genau dieser Aufgabe. Augenzwinkern
 
 
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Wink

Bin jetzt auf



gekommen. Bin ich jetzt fertig? Ist das eine geschlossene Form?

Tut mir leid, aber wir haben das einfach nicht definiert...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nein das ist noch keine geschlossene form. ziel ist es ja und getrennt anzugeben.

meine idee:
betrachte mal und
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von speedyschmidt
Bin jetzt auf



gekommen.

Als Zwischenergebnis ist das erstmal richtig. Zur Extraktion von Real- und Imaginärteil empfiehlt sich eine Vereinfachung des Nenners, und zwar durch Erweitern des Bruches mit :



Das vereinfacht die Rechnung ein wenig - vielleicht sogar deutlich. Augenzwinkern


EDIT: Bevor es Beschwerden gibt: Der Falll mit ist natürlich extra zu behandeln. Teufel
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön für die tollen Tipps, jetzt versteh ich, was gesucht ist. Habs zwar ein bisschen anders gemacht, aber dankeschön Freude
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habs jetzt nochmal durchgerechnet und komme auf schrecklich krumme ergebnisse, gibts einen einfachen Ausdruck ?

Edit: Auch mit deinem Weg, komm ich auf krumme ergebnisse :-(
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "krumm"? Mit der von mir letztgenannten Formel ist man in ein, zwei Zeilen am Ziel.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne nur die Formel:


Re(a)=[a+cg(a)]/2, wobei cg, die komplexe Konjugation ist, und damit wirds kompliziert...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und von der Eulerformel hast du noch nichts gehört? Viel mehr brauchst du doch nicht mehr:

speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich auch schon probiert und habs letztendlich auch so abgegeben. :-)
Mein Problem ist jedoch folgendes: Woher weiß ich jetzt, was xn und yn sind?

Da steht doch jetzt:

a+bi=c+di, wobei a,b,c,d komplex. woher weißt du, dass a zu c gehört und b zu d?

Oder gilt das ganze nur für reelle z?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, das kommt ein wenig darauf an, wie man die komplexen Zahlen 'definiert'. Meistens geschieht dies durch reelle Zahlenpaare, für die eine bestimmte Addition und Multiplikation definiert ist. Und wenn



(Gleichheit von Zahlenpaaren) gilt, dann muss nach Definition ebendieser Gleichheit auch gelten.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Also gilt die Eulerformel nur für reelle Zahlen, richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Euler-Formel gilt nicht nur für reelle Zahlen, sie gilt auch für komplexe Zahlen. Soweit ich weiß, habt ihr den Sinus und Cosinus definiert durch



,

und zwar für alle aus den komplexen Zahlen. Daraus folgt die Eulerformel - ebenfalls für alle komplexe Zahlen.

Allerdings verstehe ich dein Problem von oben jetzt. Ich hatte überlesen, dass liegen. MMn bekommst du aus dieser Herleitung die gewünschte geschlossene Darstellung tatsächlich nur für reelle . Für komplexe kann man sie dann entweder durch vollständige Induktion gewinnen oder man geht von Anfang an von den obigen Definitionen aus. Dann hat man zwar etwas mehr zu rechnen, kommt aber zum richtigen Ergebnis.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS
Wenn man aber und durch diese Gleichungen für reelle Argumente definiert, dann hat man sie (noch) nicht automatisch auch für definiert.
In wird dann zuerst auch eine Exponentialfunktion eingeführt und durch ihre Teilreihen und definiert und wenn man dann zeigt, dass die holomorphe Exponentialfunktion mit der in für reelle Argumente übereinstimmt, dann ist die Gleichheit gezeigt (Identitätssatz)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
In wird dann zuerst auch eine Exponentialfunktion eingeführt und durch ihre Teilreihen und definiert

Mag sein, dass das in deiner Vorlesung so gemacht wurde. Aber das heißt ja nicht, dass das jeder so macht bzw. machen muss. Insofern finde ich dein "wird" als Übertragung auf die Allgemeinheit etwas übertrieben. Was hast du denn an folgendem Aufbau auszusetzen?
Ich definiere für alle aus den komplexen Zahl die Exponentialfunktion



und anschließend für alle komplexen Sinus und Cosinus wie oben. Da tritt ein Problem, wie du es angesprochen hast, überhaupt nicht auf.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade aufgrund der von MSS zitierten Definitionen sind Sinus und Cosinus für alle komplexen als holomorphe Funktionen definiert. Da gibt es keine Probleme.

Wohl aber gibt es Probleme, aus einer Gleichung wie



auf und zu schließen, solange die Werte der Funktionen beliebig komplex sein können. Man darf also in Arthurs letzter Gleichung nicht naiv vorgehen, sondern muß da schon ein paar Gedanken darauf verschwenden ...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS
Na dann musst du aber noch die Eulersche Identität zeigen...


Edit:
Sry, schrieb hier zuerst blödsinniges
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was man definiert, muß man nicht zeigen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt bin ich davon ausgegangen, dass es hier in der Aufgabe nur um reelle geht - speedyschmidt hat im Eröffnungsposting kein Wort über komplexe Zahlen verloren ... Insbesondere habe ich diese Aussage

Zitat:
Original von Arthur Dent
Beachte dazu


.

natürlich nur für reelle getroffen.

Vielleicht äußert sich speedyschmidt mal zum Wertebereich von . Augenzwinkern
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich hab da grade Probleme gesehen wo keine sind, du hast Recht, wenn man die Holomorphie von deiner Exponentialfunktion gezeigt hat und dann Cosinus und Sinus so definiert passiert nichts...

Bin dann nur gerade am Überlegen wie man am Besten die Reihen für Cosinus und Sinus zeigen kann, aber das ist anderer Thread smile
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, das ist mein Problem: In der Aufgabe steht nichts vom Wertebereich, aber unser Prof meinte mal, dass wenns nicht explizit dasteht, er immer die komplexen Zahlen meint...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

und sind für reelle reell, also auch und . Ebenso sind die Bestandteile auf der rechten Seite von Arthurs Gleichung für reelle reell. Also kann ein Koordinatenvergleich durchgeführt werden. Aufgrund des Identitätssatzes müssen die Gleichungen, die man erhält, dann aber für beliebige komplexe gelten.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

thx, habt mir sehr geholfen :-)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
OK, ich hab da grade Probleme gesehen wo keine sind, du hast Recht, wenn man die Holomorphie von deiner Exponentialfunktion gezeigt hat und dann Cosinus und Sinus so definiert passiert nichts...

Ich habe keine Ahnung von Holomorphie und trotzdem kann ich sie so definieren, insofern braucht man diese Holomorphie sicher nicht, es sei denn, sie ist nur eine andere Beschreibung für die unbedingte Konvergenz der Potenzreihe.

@Leopold: Schöne Idee mit dem Identitätssatz! smile
Auch wenn man da sicher noch ein wenig rumwerkeln muss ...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

@Leopold: Schöne Idee mit dem Identitätssatz! smile


Also kennst die Holomorphie doch smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Begriff schon einmal gehört, weiß aber nicht, was er bedeutet. Ich verstehe unter dem "Identitätssatz" ebendiesen mit gleichem Namen für Potenzreihen. Falls es einen solchen für holomorphe Funktionen geben sollte, so ist mir dieser nicht bekannt und ich kann mit ziemlicher Sicherheit sagen, dass speedyschmidt ihn auch nicht kennt.

edit: Namen verwechselt. Entschuldigung.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagt denn der Identitätssatz für Potenzreihen?

Denn so wie ich Leopolds Beitrag verstanden habe, meinte er den gleichen den ich auch meinte

(vll stell ich mich ja auch grad nur zu dämlich an, in dem Fall nichts für Ungut Augenzwinkern )
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sind



und



die Summenfunktionen zweier Potenzreihen mit gleichem Konvergenzkreis und stimmen die Funktionen auf einer Folge überein, deren Glieder sind und die gegen strebt, d.h. gilt



für alle , so sind die beiden Funktionen und die beiden Reihen auf dem gesamten Konvergenzintervall vollständig identisch, d.h. es gilt für alle des Konvergenzintervalls und für alle .
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dabei sind die Zahlen alle komplex und die Folge liegt im Konvergenzkreis?

In dem Fall ist das ein Spezialfall des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen. Dieser besagt soviel wie, wenn man zwei holomorphe Funktionen und auf einem Gebiet hat und die Menge einen Häufungspunkt in dem Gebiet hat, dann gilt schon .
Dabei bedeutet "holomorph" mehr oder weniger "komplex ableitbar"...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass alle auftretenden Größen komplex sein dürfen und die Folge komplett im Konvergenzkreis liegt, habe ich jetzt nicht als erwähnenswert angesehen. Mag sein, dass es ein solcher Spezialfall ist, aber jedenfalls braucht man den Begriff Holomorphie nicht, denn auch mit dem von mir zitierten Identitätssatz kann man es lösen - sogar, ohne jemals etwas von Differenzierbarkeit gehört zu haben.
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