Verkettung von Funktionen durch Kontraposition beweisen

17.01.2008, 16:12

kueken

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Verkettung von Funktionen durch Kontraposition beweisen

Hey!

Meine Aufgabe lautet:
Beweisen Sie durch Kontraposition für Funktionen f,g: A -> A:
g o f injektiv => f injektiv
g o f surjektiv => surjektiv

Meine Lösung:

f,g: A->A
g o f injektiv -> f injektiv

Beweis durch Kontraposition:

Annahme: nicht A: f nicht injektiv -> g o f nicht injektiv

(g o f) (a1) = (g o f) (a2)
=> g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA
=> f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv
=> a1 = a2 weil f nicht injektiv
(hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv)

f,g: A -> A
g o f surjektiv => g surjektiv

Beweis durch Kontraposition:

Annahme: nicht A: g nicht surjektiv -> g o f nicht surjektiv

Sei c E C => Es gibt ein b EB: g (b) ungleich c (weil g nicht surjektiv)
=> Es gibt ein a EA f(a) ungleich b (weil f nicht sujektiv)
=> (g o f) (a) ungleich c (nach Def von g o f), hier liegt der Wiederspruch!
Also liegt g o f surjektiv

Stimmt meine Lösung?*

17.01.2008, 16:27

tmo

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erstmal zu ersten aufgabe: das stimmt so nicht.

1. woher nimmst du, dass g nicht injektiv ist?
2. von der 2ten zur 3ten zeile benutzt du das $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, obwohl du doch zeigen willst, dass dies nicht so ist.
3. von der 3ten zur 4ten zeile benutzt du injektivität von f, obwohl du doch das gegenteil vorraussetzt.

ich würde so anfangen:
Sei f nicht injektiv, dann exstieren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ . nun kannst du auf beiden seiten der gleichung die funktion g anwenden.

17.01.2008, 16:42

kueken

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Annahme: f ist nicht injektiv, dann exstieren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ .

Beweis: a1 ungleich a2 => f(a1) = f(a2) und a1 ungleich a2=> g(f(a1) ) g(f(a2)) a1,a2 EA => (g o f) (a1) = (g o f) (a2) .....

ist der Ansatz richtig?

17.01.2008, 16:46

tmo

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du denkst vielleicht das richtige, aber wenn ein beweis mit einer aussage anfängt, die im allgemeinen falsch ist, nämlich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \Longrightarrow f(a_1) = f(a_2) \end{eqnarray*}$

, dann ist er schon falsch.

solche $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ existieren. das heißt aber nicht, dass aus ungleichheit allgemein die gleichheit der bilder folgt.

17.01.2008, 16:47

kueken

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wie mache ich denn dann den beweis??
sry, ber weiß jetzt echt nicht mehr wie ich vorgehen soll :-(

17.01.2008, 17:55

kueken

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[
Annahme: f ist nicht injektiv, dann exstieren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ .

Beweis: f ist nicht injektiv dann existiert $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$
nun gilt: f(a1) = a1
f(a2) = a2
hier ist der Widerspruch zur Voraussetzung, da hier a1=a2 ist und somit f injektiv

Stimmts?

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17.01.2008, 18:04

tmo

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nein. das ist unsinn, denn warum sollte $\begin{eqnarray*} f(a_1)=a_1 \end{eqnarray*}$ gelten?

setze so an, wie bereits gesagt:
f sei nicht injektiv, dann exstieren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ gilt dann aber auch $\begin{eqnarray*} g(f(a_1))=g(f(a_2)) \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du aber alleine weitermachen, würde ich sagen. denke immer an das ziel, nämlich zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist.

17.01.2008, 18:18

kueken

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geht es dann so weiter?...

(g o f) (a1) = (g o f) (a2) a1, a2 EA
=> g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA
=> f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv
=> a1 = a2 weil f nicht injektiv
(hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv)

anders wüsste ich nicht wie ich weiter machne sollte..

17.01.2008, 18:26

tmo

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du folgerst völlig in die falsche richtung.

wir sind doch bereits bei $\begin{eqnarray*} g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1\neq a_2 \end{eqnarray*}$ angekommen.
was folgt daraus jetzt?

17.01.2008, 18:39

kueken

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das a1 = a2 ist somit f injektiv?

17.01.2008, 18:46

tmo

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nein

verwirrt

es ist doch $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = (g \circ f)(x) \end{eqnarray*}$ . nutze dies aus.

18.01.2008, 15:58

kueken

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$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = (g \circ f)(x) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} g(f(a1)) = (g \circ f)(a1) \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} g(f(a2)) = (g \circ f)(a2) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(a1) \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(a2) \end{eqnarray*}$

=> f(a1) ungleich f(a2)

=> a1 ungleich a2

18.01.2008, 16:10

tmo

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Zitat:

Original von kueken
$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(a1) \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(a2) \end{eqnarray*}$

warum denn ungleich? wir waren doch bei $\begin{eqnarray*} g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \end{eqnarray*}$ .

18.01.2008, 18:15

kueken

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ich soll doch eigentlich zeigen das a1 ungleich a2
... und dies zum Widerspruch führen....
wie soll ich das denn sonst schreiben wenn alles falsch ist :-(

18.01.2008, 18:59

kueken

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(g o f) (a1) = (g o f) (a2)
=> g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA
=> f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv
=> a1 = a2 weil f nicht injektiv
(hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv)

18.01.2008, 19:33

tmo

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$\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ ist doch die Vorraussetzung.

und zusammen mit $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2) \end{eqnarray*}$ folgt daraus was?

18.01.2008, 19:50

kueken

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sry. wenn ich auf dem schlauch stehe aber meiner meinung sieht man darin direkt den widerspruch. ich weiß leider nicht worauf du hinauswillst

18.01.2008, 20:13

tmo

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ja und wie genau sieht der widerspruch aus? also was folgst du für die funktion $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ?

18.01.2008, 20:16

kueken

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also vllt so.... verwirrt

verwirrt

f(a1) = f(a2)
=> g(f(a1)) = g(f(a2)) mit a1 ungleich a2
=> (gof) (a1) = (gof) (a2)
=> a1 = a2 und hier jetzt der widerspruch??

18.01.2008, 20:17

tmo

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ja das ist jetzt ok.

du nimmst an $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ sei injektiv, f jedoch nicht und folgerst einen widerspruch.

18.01.2008, 20:40

kueken

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D.h. ich hatte es quasi die ganze zeit... puh..

Aber Dankeschön!!!!!!

26.11.2009, 22:19

voodoo

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du nimmst an $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ sei injektiv, f jedoch nicht und folgerst einen widerspruch. ....

Das mit dem injektiv kapier ich total nicht.

Meine Aufgabe ist a)
Wenn f und g injektiv sind, dann auch f o g.
Ok das war nicht so schwer zu kapieren. Es geht ja um abbildungen.

Aber mal ne frage.. was meint mein leherer hiermit ?

b)
Wenn f o g injektiv ist, dann auch f injektiv.

.oO(also wenn 2 dinge injektiv sind, dann auch eines alleine ? Wie soll den eine funktion
f: N -> N injektiv sein ohne "partner". Überall im internet steht das sind so abbildungen von mengen. So wirklich plan ich das nicht jetzt.)

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