Kugelsektor berechnen

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17.01.2008, 16:15	dan-06	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelsektor berechnen Bei einem gegebenen Kugelsektor (Bild anhang) können d=6cm und r=5cm gemessen werden. Die Kugelabschnittshöhe h ist einer direkten Messung nicht zugänglich. a) Berechnen Sie die Höhe h. b) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Sektors? c) Geben Sie seinen Rauminhalt an. d) Leiten Sie wie in a), jedoch unabhängig vom Zahlenbeispiel, eine Formel für die Höhe h her, wenn r1 und r bekannt sind und h wie im Bild kleiner als r ist. zu a) r1=3/2=3cm r=h+x => r² = r1² + x² =>x² = 5²-9² => x =4 h = r-x = 1cm stimmt dies? zu b) bin mir dort nicht ganz sicher wegen der Formel: A= pi/4 (d²+4h²) oder A= 2pir*h zu c) ist mir bis jetzt noch keine klare Formel eingefallen weil ich einfach nicht weis wie ich das Volumen berechnen soll da ja das Teil aus Kugel und was weis ich besteht... zu d) irgendwie versteh ich diese frage nicht die formel steht doch bei a und b oder nicht? Danke für die Hilfe und die Tipps!!!
17.01.2008, 17:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) richtig b) Die Oberfläche der Haube (Kalotte) ist $\begin{eqnarray} 2r \pi h \end{eqnarray}$ , dazu musst du noch den Kegelmantel $\begin{eqnarray} r_1 r \pi \end{eqnarray}$ addieren. c) Für den Rauminhalt des Kugelsektors (Ausschnitt) gibt es die Formel $\begin{eqnarray} V_{KS} = \frac{2 r^2 \pi h}{3} \end{eqnarray}$ d) Dies, was du in a) mit den Zahlen gemacht hast, musst du nun allgemein rechnen: $\begin{eqnarray} r_1^2 + (r - h)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ Nun nach h auflösen .... mY+
17.01.2008, 19:00	dan-06	Auf diesen Beitrag antworten »
zu d) $\begin{eqnarray} r1²+(r-h)²=r² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r1²+r²-2rh+h²=r² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r1²-2rh+h²=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -h=\sqrt{(r²-r1²)-r} \end{eqnarray}$ kommt das so hin? oder ist da irgendwo ein denk/rechen fehler und muss ich jetzt noch mehr verallgemeinern oder wars das?
17.01.2008, 22:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Zeile ist ziemlich heavy falsch. Wir lösen nach h (und nicht nach - h)! Wendest du auf die quadratische Gleichung die Formel richtig an, so kommt $\begin{eqnarray} h_{1,2} = r \pm \sqrt{r^2 - r_1^2} \end{eqnarray}$ Welches Vorzeichen der Wurzel wird nur in Frage kommen? mY+
17.01.2008, 23:17	dan-06	Auf diesen Beitrag antworten »
In frage kommt nur das positive Vorzeichen, da wir aus der negativen keine wurzel ziehen können.
17.01.2008, 23:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das besagte Vorzeichen ist nicht IN der Wurzel, sondern DAVOR! r ist ohnehin größer als r1. Überlege dir aber mal, in welchem Größenverhältnis h zu dem Radius r liegen muss. mY+
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17.01.2008, 23:23	dan-06	Auf diesen Beitrag antworten »
h ist kleiner wie r im vergleich!!! somit kommt also nur das negative zeichen VOR der Wurzel in Frage?
17.01.2008, 23:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, alles verstanden? mY+
17.01.2008, 23:27	dan-06	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit schon!!! vielen dank für die hilfe!!! aber noch mal eine frage sehe ich das richtig wenn h größer wäre wie r müsste es dann positiv sein?
17.01.2008, 23:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sicher. Genaugenommen gibt es ja immer zwei Kugelabschnitte, die zusammen die ganze Kugel ergeben. Bei einem ist h < r, beim anderen h > r (ausser bei der Halbkugel). Wenn du nur den lt. Zeichnung kleineren berechnen sollst, ist eben h < r. mY+

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