Komplexe Eigenwerte und -vektoren

16.06.2005, 13:21

Moeki

Komplexe Eigenwerte und -vektoren

Angenommen ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme auf die komplexe Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda E)x = 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - i & -1 \\ 2 & -1 -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 + i & -1 \\ 2 & -1 +i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt auf die Eigenvektoren? Bestimmt mit Gauß oder? (a-b)(a+b)=a² + b²

Gruß, Moeki.

16.06.2005, 14:44

JochenX

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda E)x = 0 \end{eqnarray*}$

da steht es doch... alle vektoren, die das LGS lösen liegen im entsprechenden eigenraum

also gauß anwenden, wie du vorschlägst

19.06.2005, 07:53

Moeki

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Gauß klappt nicht so ganz, deswegen stelle ich nach y um und setze das in x ein.

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - i & -1 \\ 2 & -1 + i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 - i)x - y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x + ( -1 + i ) y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x + ix \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x - x + ix - ix + i^2x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^2x + x = 0 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ daher ist $\begin{eqnarray*} x = t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = ( 1 - i ) t \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -i \end{eqnarray*}$ geht das genauso

$\begin{eqnarray*} x = t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = ( 1 + i ) t \end{eqnarray*}$

19.06.2005, 11:56

Tovok7

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Also Gauss muesste eigentlich schon funktionieren, wenn du mit der konjugiert komplexen Zahl multiplizierst. Ich hab das eben mal versucht und bin zu folgenden Ergebnissen gelangt:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_1=\left\{\begin{pmatrix}\frac{1+i}{2}\\1\end{pmatrix}\cdot t\mid t\in \mathbb{R} \backslash \{0\} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2=\left\{\begin{pmatrix}\frac{1-i}{2}\\1\end{pmatrix}\mid t\in \mathbb{R} \backslash \{0\} \right\} \end{eqnarray*}$

19.06.2005, 21:49

Moeki

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2 verschiedene Lösungen. Welche ist nun richtig?

Meine ist nachvollziehbar und den Unterschied zwischen i und -i sieht man auch beim Eigenvektor.

21.06.2005, 06:48

Tovok7

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Meine ist auch nachvollziehbar, wenn man Gauss benutzt, nur ob sie richtig ist, ist fraglich Augenzwinkern

vielleicht rechne ich die spaeter nochmal nach.

21.06.2005, 10:43

Moeki

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Ja aber muss man denn Gauß benutzen, wenn es auch anders geht? traurig

21.06.2005, 18:19

Tovok7

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Die Frage ist aber, ob es denn auch so geht wie du es gemacht hast. Mir scheint, du hast nur die eine Gleichung in die andere eingesetzt und bist auf $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ gekommen. Woher du dann deine Terme fuer x und y gezaubert hast ist mir schleierhaft. Zumal wir auch auf unterschiedliche Ergebnisse kommen....

Mich interessiert noch, ob nun $\begin{eqnarray*} L_1=\left\{\begin{pmatrix}\frac{1+i}{2}\\1\end{pmatrix}\cdot t\mid t\in \mathbb{R} \backslash \{0\} \right\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} L_1=\left\{\begin{pmatrix}\frac{1+i}{2}\\1\end{pmatrix}\cdot t\mid t\in \mathbb{C} \backslash \{0\} \right\} \end{eqnarray*}$ gilt. Also ob der Paramenter ein komplexer oder reeller ist.

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