Kreis und Kugel mit Geraden/Ebenen

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SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis und Kugel mit Geraden/Ebenen
Hallo,

zuerst geht es mal kurz um das Aufstellen einer Kugelgleichung.

Es sind die vier Punkte gegeben: A (10/6/13), B (10/10/11), C (-2/6/-5) und D (10/-2/-3)

Ich habe das Ganze mal mit der Methode mit Aufstellen von vier Gleichungen und jeweils m1, m2 und m3 drin gemacht und dann eben über Additionsverfahren die Werte ausgerechnet.

Da habe ich erhalten:





Und für den Radius etwas Krummes und zwar (gerundet).
Das kommt bei den ersten drei Gleichungen raus, bei der vierten von mir aufgestellten Gleichung mit dem Punkt D, kommt jedoch für r=Wurzel(136,76) raus, warum auch immer...

Also dann:

Stimmt das soweit?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis und Kugel mit Geraden/Ebenen
hallo sky,
als fauler mensch habe ich mir zunächst die 4 punkte angeschaut. und da sieht man, dass A, B und D in der ebene x = 10 liegen.
jetzt habe ich mir den mittelpunkt des schnittkreises ausgerechnet, das gibt
M´(10/4/4) und ich weiß, daß der mittelpunkt der kugel auf der geraden

liegt und der abstand d(MA) = d(MC) = r beträgt, das gibt t = -6 und damit sofort

M(4/4/4) und r = 11
entweder hast du dich verrechnet oder ich, oder beide!
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich wars. Augenzwinkern

Fehler gefunden...habe als ich eine Gleichung multipliziert habe bei einer Zahl die Multiplikation vergessen und daher der Fehler.

Bei mir nun auch der Mittelpunkt bei M (4/4/4) und damit der Radius bei genau 11 (nicht gerundet). *g*

Ja nagut, das ist so die eine Methode wie wir immer oder meistens zu der Kreisgleichung kommen.

Nun möchte ich es aber auf eine andere Methode machen, welche ich aber noch nicht so genau verstanden habe.

Ich habe also immernoch die vier Punkte A, B, C und D.

Jetzt möchte ich das aber ohne diese ganzen quadratischen Gleichungen usw. machen.

Und das ging dann irgendwie mit den Mittelsenkrechten oder so?! *g*

Also ich brauche dann irgendwie , und .

Dann noch die Normalenvektoren, welche genau diesen Werten entsprechen die ich für die Mittelpunkte der Strecken rausbekommen habe und dann habe ich drei Ebenengleichungen glaube ich. Und mit denen müsste ich dann auch irgendwie auf meinen Kreismittelpunkt kommen, durch welche dann ja alle drei Ebenen gehen. Nur habe ich dann die Gleichungen so aufgestellt und dann eben drei Gleichungen mit jeweils x, y und z gehabt und dann jedoch nicht den Wert 4 für alle drei erhalten.
Muss da nun ein Rechenfehler vorliegen oder stimmt die Vorgehensweise so nicht? Ich weiß nur, dass so irgendwie auch gehen muss...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja das geht noch einfacher, und vor allem immer, da hast du in der reihenfolge M(AB), M(AC) und M(AD) die 3 ebenen zu schneiden
...
in koo-form
2y - z = 4
2x + 3z = 20
y + 2z = 12
mit dem bekannten ergebnis M(4/4/4)
zur erklärung: du legst durch den mittelpunkt der sehnen eine auf die sehne senkrechte ebene. auf dieser liegt der Mittelpunkt der kugel. der entsprechende normalenvektor ist z.b bei M(AB) der vektor AB!
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

alles klar...ich hatte es zuerst mit AB, BC und CD und damit hat's nicht so hingehauen...da war auch der dritte Normalenvektor (0/0/0)...naja.

Ich hab's nun auch mit M(AB), M(AC) und M(AD) gemacht.







Und dann in Koordinatenform:







Und dann erhält man wie bereits gesagt den Mittelpunkt bei .

Dankeschön.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der 2. normalenvektor stimmt nicht: (2/0/3) wäre richtig
werner
 
 
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

oh stimmt, korrekt. Ich habs korrigiert...hat zufällig auch mit 9 geklappt. *g*
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es geht um die Aufgabe im Anhang.

Es soll also keine Kreisgleichung aufgestellt werden, welche die Gerade g berührt und zwar im Punkt B.

Also den Mittelpunkt habe ich ja schon, der liegt im Ursprung bei M (0/0).

Dann fehlt mir eigentlich nur noch der Radius und dafür brauche ich dann den Punkt B.

So, nun eigentlich gar kein Problem...die Geradengleichungen für g sind ja jeweils gegeben und nun geht es nur noch um die Geradengleichung für h.

Wie stelle ich die denn auf, also was nehme ich als Richtungsvektor? Stützvektor ist der Ursprung und Richtungsvektor könnte ja nun z.B. Punkt B sein, den ich jedoch nicht habe und dann müsste ich die Gerade ja so aufstellen:

Nur das führt mich bei Gleichsetzen der beiden Geraden dann ja nicht zum Ziel, da ich dann zwei Parameter r und s auszurechnen hätte und x und y des Richtungsvektors bzw. den Koordinaten des Punktes B?! *g*
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab dazu auch ne idee:


weshalb bestimmst du nicht einfach den kleinsten abstand des Ursprungs von deiner Geraden? das ist doch auch dann der abstand bzw. der radius des Kreises.


edit: uups pardon: hab mit den anhang erst jetzt angeschaut.


naja ich würde einen zum richtungsvektor der geraden g orthogonalen vektor aufstellen. Dann nimmst du einfach noch den ortsvektor des ursprungs als ortsvektor deiner ursprungsgeraden und fertig.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du bist in R2:
gerade in kooform y = mx + n => y = x - 4
HNF und O(0/0) einsetzen liefert den radius r = 2*sqrt(2)

hoffentlich stimmts
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja wir sind in R2.

Ich soll ja nun eine Geradengleichung für h aufstellen und diese dann mit der Geraden g schneiden um erstmal B rauszufinden.

Geradengleich in Koordinatenform ist y=m*x+b - genau.

Und woher weiß ich Steigung=1 und b (oder bei dir n)= -4 ? n bzw. b ist ja der y-Achsenabschnitt und das ist bei der Geraden h doch 0 oder ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die steigung kannst du doch direkt ablesen m = y/x = 1/1 des richtungsvektors, und dann setzt du den aufpunkt ein

eine senkrechte gerade durch O(0/0) kannst auch sofort hinschreiben
m = -x/y = -1 des richtungsvektors => y = -x
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...also so schauts dann nun aus:

Also wir haben



=> Aufpunkt einsetzen:



So, und das wäre doch jetzt einfach die Koordinatenform der Geraden g oder ? Wenn ich y=s setze und dann habe x=s+4 und das aufstelle erhalte ich ja g.

Und daraus die HNF wäre dann ja:

So, hier dann den (0/0) einsetzen und man erhält , was ja dann auf rausläuft bzw. eben mit positivem Vorzeichem dann.

D.h. damit hätten wir dann den Radius.

Also:

Okay...und gleiche Vorgehensweise dann eben auch bei den entsprechenden anderen Geradengleichungen.
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so naja also der Mittelpunkt bleibt bei der Kreisgleichung ja immer gleich und die Radien für die anderen Aufgaben die ich rausbekommen habe:

b)

c)

d)
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

naja, ich hoffe die Ergebnisse stimmen nun.

Es geht nun um die Aufgabe im Anhang.

Also wir haben den Ballon mit 20m Höhe und aufgrund der Lage ist dann der Mittelpunkt bei .

Zwei Punkte liegen auf dem Kreis bzw. Ballon welche ja die Festhaltepunkte der Halteseile sind, nämlich und .

Also:



Damit dann .



Tja, nun fehlen mir jedoch noch die beiden Punkte auf der x-Achse, wo die Halteseile befestigt sind. Deren y-Werte sind jeweils Null und ich brauche noch die x-Werte.

Ich habe mir gedacht, dass ich das irgendwie mit Geraden machen müsste. Also die x-Achse ist ja .

Und dann hätte ich noch die Geraden von A und B.



Und hier weiß ich ja eigentlich, dass y sowieso Null ist. Nur das bringt mich ja nicht zu den x-Koordinaten meiner Halteseilpunkte.
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich wollte mich nur kurz melden und Bescheid geben, dass ich die Aufgabe bereits gelöst habe.


Einfach den Vektor vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Punkt B genommen:

Und dann den Normalenvektor auf MB ausgerechnet, welcher dann dieser ist:

Dann habe ich meine Gerade durch den Punkt B:

Diese dann mit der x-Achse schneiden und Parameter ausrechnen und wieder in die Gerade durch B einsetzen und dann erhält man den Punkt:

Und damit ist entsprechend .

Viele Grüße!
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