Flächen, Normalenvektor, Funktion

16.06.2005, 16:28	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächen, Normalenvektor, Funktion hallo leute, bin gerade mal wieder am Ende meiner Ideen. Ich habe hier eine Fläche und soll zu jedem ihrer Punkte den Normalenvektor berechnen und ihn als von Funktion von x1, x2 allein darstellen: $\begin{eqnarray} H=\{x\in\mathbb R^3:~x_1^2-x_2^2-x_3^2 = 1,~x_3\geq 0\} \end{eqnarray}$ ähm ja, ich hab null Ahnung den Normalenvektor von Ebenen könnte man ja schön ablesen, aber geht das auch hier? wie könnte ich ihn als Funktion darstellen? bin für jeden Tipp dankbar!
16.06.2005, 17:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider habe ich nicht viel Ahnung von Differentialgeometrie. Ich habe mir aber Folgendes gedacht: Wir haben im $\begin{eqnarray} xyz \end{eqnarray}$ -Raum eine Fläche, die durch die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2-y^2-z^2=1 \end{eqnarray}$ beschrieben wird (zweischaliges Hyperboloid). Führen wir zwei reelle Parameter $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y=u \, , \ z=v \end{eqnarray}$ ein, so finden wir für die Fläche die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} (x,y,z) = \varphi(u,v) = (\pm \sqrt{1+u^2+v^2},u,v) \end{eqnarray}$ Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\begin{eqnarray} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{u}} = \begin{pmatrix} \frac{u}{x} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{v}} = \begin{pmatrix} \frac{v}{x} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt bis auf einen skalaren Faktor den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} -x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist ein Normalenvektor am Flächenpunkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ . Und wenn es unbedingt sein muß, kannst du hier ja mit der Kurvengleichung $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ eliminieren. Und noch eine Frage: Stimmen in deiner Gleichung die Vorzeichen? Ich verstehe nämlich die Bedingung $\begin{eqnarray} x_3 \geq 0 \end{eqnarray}$ nicht. Sinnvoller wäre da wohl eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} x_1 \geq 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_1 \leq -1 \end{eqnarray}$ .
16.06.2005, 18:09	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die vorzeihen stimmen. ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray} x_3 \geq 0 \end{eqnarray}$ bedeutet soll, dass die Fläche oberhalb bzw. mind. die x-y-Ebene ist. wie kommst du auf $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ bei deinem Kreuzprodukt? und dann ist dein $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ das umgekehrte der Faktoren, die vor den Parametern meiner Fläche stehen.

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