Bestimmung des Umkreismittelpunkts

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Särah Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung des Umkreismittelpunkts
Hi!

Ich halte in 2 Wochen ne GFS in Mathe. Mein Thema ist der Beweis der Euler-Geraden. Hab jedoch ein kleines problem mit der Bestimmung des Umkreismittelpunkts mit Hilfe von Vektoren. ich komm einfach nicht drauf!
wär toll, wenn mir jemand helfen könnte!

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, welchen Ansatz du für den Beweis gewählt hast. Ich würde hier empfehlen, das Dreieck nicht in ein fertiges Koordinatensystem zu legen (das macht nur alles unnötig kompliziert), sondern umgekehrt zum vorgegebenen Dreieck das Koordinatensystem passend zu wählen.

Denken wir uns ein Dreieck mit als Umkreismittelpunkt und als Schwerpunkt gegeben. Wer hindert uns jetzt, uns das Koordinatensystem gerade so zu denken, daß der Ursprung ist? Es ist dabei gar nicht nötig, die Achsen zu zeichnen. Für den Beweis ist das völlig überflüssig. Es reicht, wenn man sich vorstellt, da würden sich die beiden senkrechten Koordinatenachsen in schneiden. Wie üblich bezeichnet man jetzt die Ortsvektoren der Punkte mit den entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben.

Dann definiert man den Punkt durch den Ortsvektor



Beachte hierbei . Die Bezeichnung ist mit Absicht gewählt, denn von soll einmal nachgewiesen werden, daß es der Höhenschnittpunkt ist. Im Moment ist das noch nicht klar. Vielmehr gilt aufgrund der Definition nur, daß auf einer Geraden liegen, so daß die Strecke im Verhältnis 1:2 teilt.

Um jetzt nachzuweisen, daß der Höhenschnittpunkt ist, muß man nur zeigen, daß auf allen drei Höhen liegt. Nehmen wir z.B. die Höhengerade von . Ein Normalenvektor ist



und ist ein Punkt der Höhe. Die Höhe hat somit die Geradengleichung (Normalenform)



Und jetzt weise durch Einsetzen von nach, daß auf der Höhe liegt. Du mußt dazu noch verwenden, wie man den Ortsvektor von aus den Ortsvektoren von berechnet, und beachten, daß und von gleichweit entfernt sind.

Du wirst sehen, das ist jetzt kinderleicht.

Dieser Beweisansatz ist elegant und trickreich. Der Clou ist, daß man nicht nachweist, daß der Höhenschnittpunkt auf der Geraden liegt, sondern daß ein auf geeignet definierter Punkt der Höhenschnittpunkt ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Geht natürlich auch elementar mit Strahlensatz:
Särah Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank schon mal für deine Hilfe.
Aber ich hab noch ne Frage und zwar wie das jetzt mit dem Umkreismittelpunkt ist. mein Lehrer will nämlich, dass ich alle drei Punkte auf der Euler-Geraden durch Vektoren erst einmal bestimme und dann prüfe ob sie auf ner Geraden liegen. Und den Umkreismittelpunkt krieg ich nicht hin.
kannst du mir da vielleicht auch helfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn's denn unbedingt mit Vektoren gelöst werden soll, dann stimme ich Leopold zu: Leg einfach den Ursprung in den Umkreismittelpunkt deines Dreiecks, d.h., der Ortsvektor dieses Umkreismittelpunktes entspricht dann dem Nullvektor: .

Alles andere macht das Aufschreiben nur komplizierter, ohne dass es in irgendeiner Form "allgemeingültiger" wäre. Dann kann man höchstens so argumentieren: ist derjenige Ortsvektor mit der Eigenschaft , oder quadriert geschrieben . Falls du eine lineare Darstellung anstrebst, wie es sie für den Schwerpunkt gibt, dann wird sie nicht so einfach ausfallen - sondern mit länglichen Ausdrücke, die nur den wahren Beweiskern verschleiern. Und dann hast du dasselbe Problem nochmal beim Höhenschnittpunkt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollte uns Särah einmal die genaue Aufgabenstellung sagen. Ich habe den Verdacht, daß sie lediglich an einem konkreten Beispiel die Kollinearität von verifizieren soll. Dann ginge das wie immer: Zwei Geradengleichungen aufstellen (für zwei Mittelsenkrechten, für zwei Schwerelinien, für zwei Höhen) und den Schnittpunkt berechnen.
 
 
Särah Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ihr zwei!
ich weiß leider nicht, wie ich meine Aufgabe noch näher erklären soll.Mein Thema ist einfach(!?) der Beweis der Euler-Gerade, dadurch, dass ich die drei Punkte bestimme und danach zeige, dass sie auf einer Geraden liegen. Und da unser Thema zur Zeit der Beweis mit Vektoren ist, denke ich, dass man das dann auch irgendwie so lösen sollte. Es soll aber auf jeden Fall nicht an Hand eines Beispiels bewiesen oder bestimmt werden, sondern allgemein. Ich hatte ja auch schon einen Ansatz, aber da wurde nachher so ne lange komplizierte Rechnung draus, von der ich nicht glaube (und hoffe), dass sie mir mein Lehrer zumutet.
Gute Nacht!
Särah
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