Modifizierte Dirichletfunktion

17.01.2008, 17:17

Romaxx

Modifizierte Dirichletfunktion

Sei wieder $\begin{eqnarray*} d: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die modifizierte Dirichletfunktion,

$\begin{eqnarray*} d(x)=0, x \notin \mathbb O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1=1/q, x=p/q \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden p, q und q > 0.

Konstruieren Sie eine Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen d konvergiert.

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Wie man sieht, ist das die modzifizierte Dirichletfunktion, welche in jeder irrrationalen Zahl stetig und jeder rationalen Zahl unstetig ist. (Nebenbei könnte mir vieleicht jemand sagen, wie ich in diesem Forum mit Latex große linksseitige Klammern erstellen kann, damit ich die Darstellung dieser Funktion verbessern kann)

So nun aber zu meiner Frage: Könnte jemand so nett sein und mir erklären wieso diese Funktion diese Charackteristik in Sachen Stetigkeit aufweist (verstehe das noch nicht ganz) und mir einen möglichen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe liefern?

Gruß

17.01.2008, 20:03

Romaxx

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RE: Modifizierte Dirichletfunktion
Danke für alle Bemühungen, hat sich erledigt.

Gruß

17.01.2008, 23:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Roman Föll
(Nebenbei könnte mir vieleicht jemand sagen, wie ich in diesem Forum mit Latex große linksseitige Klammern erstellen kann, damit ich die Darstellung dieser Funktion verbessern kann)

Ich nehme an, du meinst folgendes:

$\begin{eqnarray*} d(x)=\begin{cases} 0;\qquad x\in \mathbb R\setminus \mathbb Q \\ \frac{1}{q};\qquad x=\frac{p}{q}, p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N \mathrm{ggT}(p,q)=1\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dafür habe ich folgendes zwischen die Latex-Klammern getippt:

"d(x)=\begin{cases} 0\ ;\qquad x\in \mathbb R\setminus \mathbb Q \\ \frac{1}{q}\ ;\qquad x=\frac{p}{q}, p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N \mathrm{ggT}(p,q)=1\end{cases}"

Das wesentliche ist also:

"\begin{cases} ... \\ ... \end{cases}"

Alles vor "\\" erscheint oben, alles dahinter unten.

PS: Wie hast du denn die Aufgabe nun gelöst?

18.01.2008, 00:05

Romaxx

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Ich habe lange Zeit versucht mit einer Abzählung von Q irgendwie darauf zu kommen, aber irgendwann aufgegeben. Wenn du einen Vorschlag hast, wäre ich dennoch dankbar. ( Ich habe morgen die Abgabe der Aufgabe und würde dort die Aufgabe sowieso erklärt bekommen)

Gruß

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