Diedergruppe

17.01.2008, 17:35	Dani23	Auf diesen Beitrag antworten »
Diedergruppe Hallo, Ich habe zwei Fragen zu Diedergruppen. 1. Sei G = <a,b> mit $\begin{eqnarray} a^2 = b^n = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} aba = b^-1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie G isomorph zu $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ . Wie kann ich da vorgehen? 2. Ich soll zeigen, dass die Quaternionengruppe Q und $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ nicht isomorph sind. Genügt es zu zeigen, dass Q nur 1 Element der Ordnung 2 hat und $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ deren 5? Wie kann ich eigentlich allgemein Isomorphie zwischen zwei Gruppen zeigen? Grüsse
17.01.2008, 17:45	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diedergruppe Isomorphie zeigt man durch Angabe eines Isomorphismus, d.h. finde einen Ja, Teil 2 kannst du so lösen.
17.01.2008, 21:41	Dani23	Auf diesen Beitrag antworten »
Also versuchen wir es mal. Bei der Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ wissen wir, dass sie duch zwei Elemente $\begin{eqnarray} d_\alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{2\pi}{n} \end{eqnarray}$ und der Spiegelung s an der Symmetrieachse durch den Eckpunkt 1, erzeugt wird: $\begin{eqnarray} D_n = <d_\alpha, s> \end{eqnarray}$ Ausserdem wissen wir, dass $\begin{eqnarray} {d_\alpha}^n =1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s^2 = 1 \end{eqnarray}$ . Somit sei f ein Isomorphismus, der a nach $\begin{eqnarray} d_\alpha \end{eqnarray}$ und b nach s abbildet. Jetzt ist also nur noch nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray} aba = b^{-1} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} sd_\alpha s = d_\alpha^{-1} \end{eqnarray}$ Dabei wissen wir, dass $\begin{eqnarray} d_\alpha^{-1} = d_\beta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta = (n-1)\frac{2\pi}{n} \end{eqnarray}$ . Also, nehmen wir ein n-Eck mit Ecken (1, 2, 3, ... , n) . Dieses wird zuerst gespiegelt. Das ergibt (1, n, (n-1), ... , 3, 2). Nun wird es um $\begin{eqnarray} d_\alpha \end{eqnarray}$ im Gegenuhrzeigersinn gedreht, was folgendes ergibt: (2, 1, n, (n-1), ... , 4, 3). Jetzt wird wieder gespiegelt: (2, 3, 4, ... , (n-1), n, 1) Und dies ist genau die Reihenfolge der Ecken, wie sie durch die Drehung $\begin{eqnarray} d_\beta \end{eqnarray}$ erhalten wird. Somit ist die Isomorphie gezeigt. Was sagt ihr dazu? Ist dies so korrekt?

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