Empirsche Dichte/Verteilungsfunktion

16.06.2005, 20:32	klaus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Empirsche Dichte/Verteilungsfunktion Hi! habe eine frage zur Empirischen Verteilungsfunktion F(x) ... wie kann ich diese berechnen? Ist das immer die Summe aus den rel. Häufigkeiten in einem gewissen Bereich? WElcher Bereich? Empirische Dichte is ja immer der y Wert zum geg. x - Wert, falls kein X-Wert vorhanden, dann f(x) = 0 oder? LG, Klaus
16.06.2005, 20:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe auch Wikipedia : Die empirische Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \hat{F}(x) \end{eqnarray}$ einer Stichprobe entspricht der relativen Häufigkeit derjenigen Stichprobenelemente, die kleiner als x sind. Auf deine Nachfrage bezogen bedeutet das, dass du diejenigen relativen Häufigkeiten summieren musst, die zu Stichprobenwerten kleiner als x gehören.
16.06.2005, 21:00	klaus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkret bei einem Beispiel heißt es: Eine Erhebung über die Anzahl von Maschinenstörungen pro Tag in einer bestimmten Fabrikationsanlage ergab folgende Ergebnisse: Anzahl der Störungen: 0 1 2 4 5 6 8 10 Anzahl von Tagen: 20 40 20 10 15 5 8 2 Bestimmen Sie die empirische Häufikeitsfunktion f sowie die empirsiche Verteilungsfunktion F!
16.06.2005, 21:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst also nicht nur einen Funktionswert an einer Stelle, sondern den gesamten Funktionsverlauf. Als Funktion über der reellen Achse hat die empirische Verteilungsfunktion die Form einer aufsteigenden Treppe mit stückweise konstanten Stücken. Gehören zu der Stichprobe die Werte $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ mit relativer Häufigkeit $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ usw. $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mit relativer Häufigkeit $\begin{eqnarray} h_n \end{eqnarray}$ , und gilt $\begin{eqnarray} x_1<x_2<\ldots<x_n \end{eqnarray}$ , dann kann man die empirische Verteilungsfuktion so zeichnen: Von minus unendlich kommend nimmt die Funktion zunächst den Wert Null an. An der Stelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ "springt" der Funktionswert um $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ nach oben, und bleibt im folgenden auf diesem Niveau. An der Stelle $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ springt der Funktionswert dann um $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ nach oben, und bleibt im folgenden auf diesem Niveau, usw. ... Schließlich an der Stelle $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ springt der Funktionswert um $\begin{eqnarray} h_n \end{eqnarray}$ nach oben und erreicht dort den Wert Eins, dort verbleibt dann die Funktion für x gegen plus unendlich.
16.06.2005, 21:20	klaus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkret F(5) wäre dann was? bzw. f(5) ?
16.06.2005, 21:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zusammenzählen: Es sind 120 Tage, davon gibt es an 20+40+20+10=90 Tagen weniger als 5 Störungen, also ist $\begin{eqnarray} \hat{F}(5)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}=0.75 \end{eqnarray}$ An genau der Stelle x=5 springt die Verteilungsfunktion aber um $\begin{eqnarray} f(5)=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}=0.125 \end{eqnarray}$ nach oben. (Der boardeigene Plotter hier kommt leider nur schlecht mit Funktionsunstetigkeiten zurecht, du musst dir die Spünge also senkrecht und nicht schräg vorstellen. ) P.S.: Die Bezeichnung "Dichte" für das f ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, denn mit der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße hat das hier nur entfernt zu tun. Ich würde da eherr den Begriff Einzelwahrscheinlichkeit verwenden - aber das ist letztendlich Geschmackssache.
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