einfach zusammenhängend

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17.01.2008, 19:50	flo_rian	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach zusammenhängend Hi! Habe ein vermutlich einfaches Problem. Ich soll zeigen, dass im Komplexen die obere Halbebene ohne die reelle Achse ein einfach-zusammenhängendes Gebiet ist. Ich finde, dass ist erstmal intuitiv klar, aber wie kann ich es formal zeigen? Vielen Dank!, Flo
17.01.2008, 19:55	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einfach zusammenhängend Bei solchen Aufgaben hilft immer die Definition weiter. Also wie ist eine zusammenhängende Menge definiert? Oder besser gefragt: Wie habt ihr diese definiert?
17.01.2008, 20:38	flo_rian	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, wir haben folgendes geschrieben (bin mir nicht sicher, ob das die antwort auf deine frage ist): für offene Teilmengen der Komplexen Zahlen ist wegzusammenhang äquivalent zu zusammenhang. wegzusammenhang einer menge D definieren wir folgendermaßen: zu a,b aus D existiert Weg y: [0,1] -> D stetig mit y(0)=a und y(1)=b. ist zusammenhang = einfach zusammenhängend? lg
17.01.2008, 20:59	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich nicht. Wie wäre es, wenn du dir erstmal die Definitionen anschaust, dir dann Gedanken über die Aufgabe machst und erst hier anfragst, wenn du nicht weiterkommst...?
17.01.2008, 21:05	flo_rian	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für konstruktive beiträge. ok, habe verstanden, was der unterschied ist. dann nehmen wir doch einmal folgende definition: Gebiet D heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene kurve y: [0,1] -> D nullhomotop ist. lg
17.01.2008, 21:58	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun schau dir die Definition von "nullhomotop" an.
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17.01.2008, 22:04	flo_rian	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr lieb von euch, den pädagogischen effekt in mir auslösen zu wollen =) dennoch, mir ist klar, was nullhomotop ist, und ich est ist auch klar, dass ich jede geschlossene kurve in D zu einem Punkt zusammenfügen kann, aber wie bringe ich das formal zu Blatt?
17.01.2008, 22:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird dir hier sicher nicht vorgesagt werden...
18.01.2008, 14:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst die zentrischen Streckungen aus der Schule. Gehen wir in die Gaußsche Zahlenebene und nehmen wir zunächst $\begin{eqnarray} z_0 = 0 \end{eqnarray}$ als Streckzentrum. Um nun einen Punkt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit dem reellen Faktor $\begin{eqnarray} t \geq 0 \end{eqnarray}$ zu strecken, führt man die Abbildung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sigma_t(z) = tz \end{eqnarray}$ durch. Hier fungiert $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ als Parameter. Für ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ wird ein $\begin{eqnarray} z \neq 0 \end{eqnarray}$ von der $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ weggestoßen, für $\begin{eqnarray} 0<t<1 \end{eqnarray}$ zur $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ hingezogen. Dabei bewegt sich $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf dem Strahl, also der Halbgeraden, die von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ führt. Im Spezialfall $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ passiert gar nichts, die Streckung wird zur Identität. Und im Falle $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ schließlich wird ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ von der $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ geschluckt. Bisher haben wir $\begin{eqnarray} \sigma_t \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ angewendet. Jetzt lassen wir nur die Punkte $\begin{eqnarray} z = \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i}s} \, , \ \ s \in [0,1] \end{eqnarray}$ des Einheitskreises zu: $\begin{eqnarray} \sigma_t \left(\operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i}s} \right) = t \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i}s} \end{eqnarray}$ Wenn wir $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nicht mehr als Parameter auffassen, sondern als zweite unabhängige Variable, bekommen wir eine Abbildung $\begin{eqnarray} H_1: \ [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C} \, , \ \ H_1(s,t) = t \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i}s} \end{eqnarray}$ die den Ursprung in konzentrischen Kreisen zum Einheitskreis entfaltet, wenn $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ durchläuft, sozusagen vom Urknall bis heute. Lassen wir die Zeit zurücklaufen, sieht das so aus: $\begin{eqnarray} H_2: \ [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C} \, , \ \ H_2(s,t) = (1-t) \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i}s} \end{eqnarray}$ Die ganze Welt zieht sich auf ein Nichts zusammen. Und jetzt überlege, wie dieses Vorgehen sich verallgemeinern läßt und zum einfachen Zusammenhang der oberen Halbebene führt.
21.01.2008, 15:42	flo_rian	Auf diesen Beitrag antworten »
hei Leopold, ich habe es mir durch den Kopf gehen lassen und verinnerlicht =) mir ist das vorgehen klar, aber nicht wie ich es auf mein Beispiel mit der oberen Halbebene ohne reelle Achse anwenden kann. Welchen Punkt soll ich denn da als "ursprung des Universums" nehmen? =) lg
21.01.2008, 18:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm irgendeinen Punkt der oberen Halbebene. Um etwas Konkretes vor Augen zu haben, etwa $\begin{eqnarray} z_0 = \operatorname{i} \end{eqnarray}$ . Entscheidend ist letztlich nur die Konvexität der oberen Halbebene: Mit zwei Punkten liegt auch die Verbindungsstrecke der beiden Punkte in der Halbebene. Das garantiert, daß dieses stetige Zusammenziehen auf $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ auch funktioniert und nicht etwa an einer Singularität "hängenbleibt". So müßte es gehen, eine Homotopie zu konstruieren.

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