Cauchy-Definition des Grenzwertes

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sublime Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Definition des Grenzwertes
Hi,

wir machen grade in der 11. (Gym) Grenzwerte, Stetigkeit und son Zeugs! Soweit hab ich alles verstanden, außer wie man mit dieser blöden Cauchy Def. die Existenz eines Grenzwertes beweist verwirrt

zur Erinnerung:

g heißt Grenzwert der Funktion an der Häufungsstelle x0 von A, wenn es zu jedem 'epsilon'>0 ein 'delta'>0 gibt, so dass für alle mit gilt:

Wenn |x-x0|<'delta', dann |f(x)-g|<'epsilon'


PS: wie mache ich eigentlich die Zeichen 'epsilon' und 'delta' ??

könnte mir das vielleicht einer anschaulich an einem Beispiel erklären??? Ich wär wirklich sehr dankbarsmile

ach ja und wär super wenn mir einer die Anwendung der Definition an folgenden 2 Beispielen zeigen kann:

1. F(x)=
2. F(x)= , für mit konkretem 'epsilon'=0,01


ich weiß is n bisserl viel, aber ihr würdet mir wirklich helfen mir das klar zu machen, bin mega froh dass ich auf diese Seite gestoßen bin, weil wüsste sonst nicht wohin, in Nachhilfe will ich nämlich nicht Augenzwinkern
also schonmal Danke im Voraus ^^
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Definition des Grenzwertes
= \epsilon
=\delta
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Definition des Grenzwertes
GROßer TIPP Augenzwinkern zu deiner 1.Funktion: Klammere mal x^2 aus, dann wirst du sehen, dass sich da gewaltig was vereinfachen lässt. Der "Epsilon-Delta"-Beweis zu der vereinfachten Funktion ist äquivalent zu dem der ursprünglichen Funktion, bis auf x_o=2 (Man hat ja da eine Definitionslücke rausgekürzt und arbeitet mit einer stetigen Fortsetzung weiter)


Happy Mathing
sublime Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, erstmal danke für die Antworten, aber soweit mit dem Vereinfachen war ich schon Augenzwinkern
das stellt weniger das problem dar!
Häufungsstelle ist 2 und Grenzwert ist 4. Aber wie beweise ich das mit dieser Epsilon-Delta Definition, das ist mein Problem, hoffe mir kann da einer helfen
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht machst du dir die "Epsilon-Delta-Geschichte" mal am Besten an Hand einer Zeichnung deutlich.

Es heißt: Für alle Epsilon>0 ..... |f(x)- g| < Epsilon
Das kann man als "Schlauch" der Dicke Epsilon ("Epsilonschlauch") parallel zur x-Achse um den y-Wert g verstehen. (Die Werte von f(x) sollen von g um weniger als Epsilon abweichen)

Weiter: ... Existiert ein Delta, so dass falls |x-x_o|<Delta ...
Dies kann als senkrechter Schlauch der Dicke Delta ("Deltaschlauch") parallel zur y-Achse um x_o interpretiert werden.

Jetzt hast du also 2 mal eine "Eingrenzung". Einmal für die Funktionswerte von f und andererseits für die x-Werte. Und die Definition sagt nun halt:
Grenzwert von f für x->x_o ist gleich g ist gleichwertig dazu, dass egal wie dünn du den waagerechten Epsilonschlauch wählst immer ein Deltaschlauch gefunden werden kann, innerhalb dessen alle x-Werte (eingesetzt in f) eine geringere Abweichung von g haben, als Epsilon.

Da nun Epsilon beliebig klein (aber positiv) gewählt werden kann, kann man jeden beliebig kleinen Abstand der Funktionswerte von f zu g hinbekommen, mann muss nur nahe genug bei x_o liegende x-Werte einsetzen. Dann sagt man eben f "konvergiert" für x->x_o gegen g.

Hat das geholfen?

Zu deiner Aufgabe1:

f(x)=(x^3 - 2x^2)/(x-2) lässt sich nach Kürzen von (x-2) als f_1 = x^2 schreiben (Vorsicht Definitionslücke wird rausgekürzt).In der Umgebung von 2 (außer der 2 selbst) stimmen beide Funktionen überein und daher gilt folgende Überlegung auch für f(x)

Epsilon = 0.01 -> |f(x) -4 | < 0.01 d.h. die Funktionswerte müssen im Bereich 3.99 bis 4.01 liegen. Damit dies aber möglich ist sollten die x-Werte im Bereich Wurzel(3.99) bis Wurzel(4.01) liegen. Also heißt es noch passendes Delta finden. Da Wurzel(3.99) -2 größer ist als Wurzel(4.01)-2 wählt man als Delta einfach Wurzel(4.01)-2. Sind nun die x-Werte weniger als Wurzel(4.01)-2 von 2 entfernt, so kann damit noch obigen Überlegungen der Funktionswert f(x) auch nicht mehr als maximal 0.01 von 4 entfernt sein.


Ach ja kleiner Mathematikwitz am Rande: "Sei Epsilon < 0" Augenzwinkern

Happy Mathing
sublime Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh danke, klingt alles einleuchtend nur in der schule haben wir bei der aufgabe F(x)= als Ergebnis: "Wenn |x-4|<0.02, dann | -2|<0.01"
wie kann das sein?? soll ich Lösungsweg mal posten??
 
 
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann schon sein! Auch deine Lösung mag richtig sein! Nur hast du wohl die für die Aufgabe 2 angegeben und ich hab sie dir für die Aufgabe 1 vorgerechnet Augenzwinkern Hoppala, oder?

Happy Mathing
sublime Auf diesen Beitrag antworten »

mmmmhh aha LOL Hammer
aber das versteh ich nicht so ganz: "Damit dies aber möglich ist sollten die x-Werte im Bereich Wurzel(3.99) bis Wurzel(4.01) liegen"

warum??
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Nun man kann bei der Aufgabe 1 ja den Funktionsterm "vereinfachen" zu f(x)=x^2 (wobei man ein wenig aufpassen muss, da man dadurch eine Definitionslücke "wegschmeisst" - aber für alle andern x-Werte verhält sich f(x)=x^2 wie die gegebene Funktion.)

Wenn nun wegen epsilon < 0.01 die Funktionswerte im Bereich von 3.99 bis 4.01 liegen müssen, heißt das f(x) muss Werte im Bereich von 3.99 bis 4.01 annehmen oder als Ungleichung:
3.99 < f(x) < 4.01, also 3.99 < x^2 < 4.01.
Nun dann "wurzel" wir diese Ungleichung doch mal. Es ergibt sich:


Alles klar?

Happy Mathing
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