Unterraum

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karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Hi,

wir sitzen gerade an unserem Übungsblatt und kommen bei einer Aufgabe nicht ganz weiter.
Wäre toll, wenn schon mal einer sagen könnte, ob das richtig ist, was wir uns gedacht haben, bzw. einen Tipp geben könnte, wie es richtig aussehen sollte...

Es sei der R-Vektorraum aller Abbildungen von R nach R.
a) Zeige, dass ein Unterraum von V ist, für den V/U isomorph zu R ist (d.h. es gibt einen Isomorphismus von V/U nach R).

Also, wir haben jetzt versucht das mit Unterraumkriterium zu beweisen.

-> z.B. f(x)=x-1 ist eine Fkt, die diese Bedingung erfüllt.

für alle k € K, u € U: k*u € U
ich habe jetzt f(x) als u € U genommen und k*f(x) = k*0 = 0 € U gesagt. stimmt das?


für alle u, u' € U: u-u' € U
da haben wir gedacht f(1)-g(1) = 0-0=0 € U

Aber irgendwie sieht das nicht so wirklich toll aus.
Wenn jemand einen Tipp oder ein Beispiel dazu hätte wären wir wirklich dankbar.

Gruß,
karl
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingungen für den Untervektorraum zu überprüfen ist der richtige Weg.

Du musst drei Dinge zeigen, nämlich dass
, wobei die Nullfunktion von bezeichnen soll, dann noch, dass wenn du hast, die Summe ebenfalls enthalten ist, also und das gleiche mit der Slakarmultiplikation.

Dabei ist jetzt allerdings die Frage, wie die Addition zweier Funktionen in definiert ist?

Ich nehme mal an, dass

definiert ist...
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
danke für die schnelle Antwort.

Ja, die Addition ist bei uns so definiert.

Die konstante Fkt f(x)=0, welche in R-->R liegt ist bestandteil von U, da auch f(1)=0 gilt.
Würde das für den ersten Punkt reichen?

f,g € U: --> (f+g)(1) = f(1)+g(1)=0

stimmt das?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, beides richtig Freude

Jetzt noch die Skalarmultiplikation nachweisen:
für alle und für alle


Für die Isomorphie könnte man den Isomorphiesatz bemühen
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

(k*f)(1) = k*f(1)=k*0=0 € U

also U Unterraum zu V

jetzt habe ich zur Isomorphie (weiß nicht genau, was du mit Isomorphiesatz meins)

V/U -> R bijektiv <-> Isomorphismus von V/U nach R

dann hab ich das versucht aufzustellen, aber das war dann irgendwie nix:



(weiß leider nicht, wie man in latex {} darstellt, daher () )

Aber jetzt wüsste ich nicht, wie man daraus bijektivität herleiten sollte
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Mit LaTeX ergibt
code:
1:
\{irgendwas\}

genau



Der Isomorphiesatz sagt, dass wenn man drei Vektorräume und hat mit Untervektorraum und einen Homomorphismus und es gilt , dann ist
isomorph zu
 
 
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ja jetzt hab ichs. der heißt bei uns homomorphiesatz, dachte das wäre falsch...

Wir haben den in der Form: Sei f: V -> W ein Morphismus. Dann ist f_ : V/ker(f) -> Im(f) und x_ -> f(x) ein Isomorphismus.
bei f_ und x_ soll der strich als Querstrich oben drüber sein.

Ich hab nur grad n bischen probleme damit, was mein f sein soll.

f: V/U -> R als Morphismus?
oder f: R -> R?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Also dein Morphismus darf natürlich keiner aus deinem Vektorraum sein, denn dieser leistet ja gar nicht was du willst.

Du brauchst einen Morphismus, der auf definiert ist, das heisst der nimmt ein Element von und tut damit irgendetwas und zwar so, dass am schluss eine reelle Zahl herauskommt, das heisst im Klartext:
Suche einen Homomorphismus für den gilt
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, sorry aber das sagt mir jetzt nicht wirklich viel. glaube, ich stehe ein wenig auf dem schlauch.

also phi: V --> R
dann phi_ : v/ker(f) --> im(f)

mit ker(phi) = {x € V | f(x) = 0}
und im(phi) = {f(x) | x € V}

darf ich mir da dann einen morphismus aussuchen?
wir hatten leider kein bsp dazu. ich kann mir irgendwie nicht so viel drunter vorstellen...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, einen Homomorphismus musst du dir aussuchen smile

Ich schreib dir mal eine Möglichkeit hin:
definiert durch


das bedeutet also:

Jetzt klarer?
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, also ein bisschen glaube ich Augenzwinkern



f(1) darf ich hier aber nicht 0 setzen, da f aus ganz V kommt und nicht nur aus U oder?

Dann wäre


Dann folgt:


wobei

wobei ich jetzt nicht ganz verstehe, wie ich V/U -> Im zeigen soll.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dein nimm eine Funktion und wertet diese Funktion an der Stelle aus.
Du kannst jetzt nichts mehr wählen, denn ist ja schliesslich für jedes festgelegt, du weisst lediglich noch, dass wenn liegt, dass ist.


Der Kern stimmt wunderbar Freude

Dann sagt also der Homomorphiesatz:
mit ist ein Isomorphismus

Nun soll man sehen was das Bild ist:
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, kann man das "berechnen" oder brauch ich da einen speziellen satz zu?

konnte keine methode finden, wie ich das zeigen könnte unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte sich erstmal klarmachen, dass ist, denn wenn ich irgendein nehme, dann kann ich
nehmen, definiert durch für alle (das heisst die konstante Funktion).

Anders gesagt:
Für jede Zahl aus kann ich ein finden so, dass gilt und umgekehrt. Entweder reicht das als Begründung, dass ist, oder man muss es eben aufdröseln und sowie zeigen
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich glaube so grob wird es klar. muss ich mir noch mal genauer durchlesen.

aber danke schon mal bis dahin smile

aufgabenteil b ist nun:

b) ist auch Unterraum von V?

Wenn ich jetzt die Addition betrachte führt das zu einem Widerspruch und dies ist kein Unterraum oder?

f,g € U2 --> (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1 = 2

stimmt das?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Der Witz vom Isomorphiesatz liegt einfach darin, dass der Satz den Isomorphismus garantiert und man nicht selbst danach suchen muss um ihn konkret anzugeben !
Hier muss man dann einfach zwei Bemerkungen machen:
1. ist ein -Vektorraum (um den Iso-Satz überhaupt anwenden zu können)
2.



zum Teil (b):
Kann man so machen, ja Freude
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile

c) Zeige, dass

und
für alle x in R zwei Unterräume von V sind, für die gilt.

U1:

f(x)=0 --> f(x)=0=f(-x)
(f+g)(x) = f(x)+g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x)
(k*f)(x) = k*f(x) = k*f(-x) = (k*f)(x)

U2:

f(x)=0 --> f(-x)=0=-f(x)
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f+g)(x)
(k*f)(-x) = k*f(-x) = -k*f(x) = -(k*f)(x)

also U1, U2 Unterräume.

Dann folgt aus dem Lemma:
Seien U1, U2 UVR von V. Dann sind äuquivalent:
- Jedes z in U1+U2 lässt sich auf genau eine Art als z=x+y, x in U1, y in U2, schreiben
- U1 geschnitten U2 = {0}
Dann ist U1+U2 die direkte Summe.



aber das wäre dann ja nicht für alle f oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf ein Schreibfehler im Nachweis dass ein Unterraum ist, ist alles ok Freude



Du sollst doch zeigen dass ist, also mache es nach dem Lemma, zeige dass gilt, denn das Lemma liefert schon die Äquivalenz der Aussagen
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ja den fehler oben hab ich, danke.



das wäre dann aber für f(x) = 0 gültig oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

So weist man das aber nicht nach unglücklich

Nimm ein und zeige, dass dann und als zweites nimm ein und zeige, dass dann folgt.
Dann hast du gezeigt, weil und jeweils beliebig waren


Edit:
Tut mir leid, ich schrieb oben immer "" anstatt "", ich werds editieren
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

würde dann f in U1 --> f(-x) = f(x) =|= -f(x)
und g in U2 --> g(-x) = -g(x) =|= g(x) reichen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, passt...

Die Begründung wieso das Ausreicht liegt in dem, dass die Eigenschaft bzw für alle gelten müssen !
karl1801 Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke für deine hilfe smile

jetzt überleg ich noch mal n bischen über die a), dass ich den letzten schritt richtig versteh ...

Vielen Dank!
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