Newton-Verfahern mit 2 Variablen

17.06.2005, 09:27

H3nn1

Newton-Verfahern mit 2 Variablen

Morgen,

das Newton-Verfahren ansich hab ich ja kapiert, aber was ist denn, wenn zwei Variablen auftauchen?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} +x^2 y=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^3 +(y-2)^2 =4 \end{eqnarray*}$

Startwert (x,y) = (0,1).

der Henni

17.06.2005, 09:48

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Newton-Verfahern mit 2 Variablen
ich denke dennoch, dass du das verfahren dann nur mit e8iner variablen durchführen musst.

was soll denn das heißen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} +x^2 y=2 oder x^3 +(y-2)^2 =4 \end{eqnarray*}$

Startwert (x,y) = (0,1).

hast du die aufgabe vorgegeben bekommen? und den startwert auch, oder hast dud ir die selbst zusammen gestellt?

17.06.2005, 11:36

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man führt das Newtonverfahren selbstverständlich dann auch mit beiden Variablen aus. Dann rechnet man nichtmehr mit Skalaren sondern mit Vektoren.

Dafür setzt du:

$\begin{eqnarray*} x^3 +(y-2)^2 =4 \quad \Rightarrow \quad f_1(x, y) := x^3 +(y-2)^2 - 4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x, y) := e^{-2x} +x^2 y-2 = 0 \end{eqnarray*}$

Du hast nun ein Nullstellenproblem in zwei Variablen.

$\begin{eqnarray*} f(x, y) := \begin{pmatrix} f_1(x, y) \\ f_2(x, y) \end{pmatrix} = (0,0) \end{eqnarray*}$

Die Formel für das Newtonverfahren lautet hier:

$\begin{eqnarray*} (x,y)_{k+1} = (x,y)_{k} - \frac{f((x,y)_{k})}{f'((x,y)_{k})} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung f'(x, y) ist die Jacobimatrix (Man leitet f(x,y) in der ersten Spalte nach x ab und in der zweiten Spalte nach y und erhält hier eine 2x2 Matrix). Man müsste die Matrix invertieren um die Newtonformel so anwenden zu können. Deshalb kann man in jedem Schritt das folgende Lineare Gleichungssystem lösen:

$\begin{eqnarray*} ((x,y)_{k+1} - (x,y)_{k})f'((x,y)_{k}) = -f((x,y)_{k}) \end{eqnarray*}$

Oder schöner: Setze $\begin{eqnarray*} \Delta_k:= (x,y)_{k+1} - (x,y)_{k} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_k := (x, y)_k \end{eqnarray*}$ und berechne in jedem Schritt

$\begin{eqnarray*} f'(z_k)\Delta_k = -f(z_k) \end{eqnarray*}$

17.06.2005, 11:40

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Newton-Verfahern mit 2 Variablen
Hallo Henni!

Das NEWTON-Verfahren gibt es auch für nichtlineare Gleichungsysteme mit mehrere Variablen (Existenz und Konvergenz sind dann eine andere Frage!).

Wenn ich dein Beispiel ansehe, denke ich, du meinst:
$\begin{eqnarray*} e^{-2x} +x^2 y=2 \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} x^3 +(y-2)^2 =4 \end{eqnarray*}$ (2)
Gesucht ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x^{*} \\ y^{*} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der beide Gleichungen erfüllt. Als Startwert ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Bist du mit der Differentiation vektorwertiger Funktionen vertraut? Ist dir der Begriff JACOBI-Matrix (auch Funktionalmatrix ) bekannt? Dann könnte ich dir ev. weiterhelfen.

Gruss yeti

17.06.2005, 11:57

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Newton-Verfahern mit 2 Variablen
nee leider nicht, erzähl mal Yeti!! verwirrt

17.06.2005, 13:35

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Newton-Verfahern mit 2 Variablen
Hallo brunsi!

Eigentlich hat dir Tobias bereits alles Notwendige sehr schön erklärt. Da du dich mit der Differentiation von vektorwertigen Funktionen noch nicht auskennst, können wir dir im Moment nicht weiterhelfen.

Um dir (nur) eine Anschauung zu geben, habe ich dein Gleichungssystem mit einem kleinen selbstgebastelten Progrämmchen gelöst. Zuerst habe ich anhand einer Grafik geeignete Startwerte bestimmt (siehe Anhang). Dann habe ich mit "NEWTON" die genaueren Lösungsvektoren bestimmt, so wie Tobias es beschrieben hat. Nach nur 5 Iterationen ergeben sich für die Schnittpunkte = Lösungen in der oberen Halbebene (die unten habe ich weggelassen) folgende Näherungswerte für dein GLS:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.268 \\ 4.005 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.665 \\ 3.925 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.427 \\ 0.954 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Durch Einsetzen in deine Gleichungen kannst du dich überzeugen, dass die Werte stimmen.

Das Problem beim mehrdimensionalen NEWTON, vor allem bei dim > 2, sind die Startwerte, da das Verfahren nur lokal konvergiert. Bei schlecht gewählten Startwerten "schwimmt" das Verfahren davon. Man hat darum numerische Verfahren konstruiert, die global, dh. unabhängig von der Wahl des Startwerts, konvergieren. Das LEVENBERG-MARQUARD-Verfahren ist eins davon.

Gruss yeti

17.06.2005, 14:01

H3nn1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

danke für die ausführlichen Antworten.
In der Aufgabe sollte ich (glaub ich) für beide Gleichungen jeweils 4 Iterationen berechnen. Die Startwerte waren ja vorgegeben...
Das mit der Jacobi-Matrix scheint mir eine sinnvolle Lösung zu sein.
Ich weiss jedoch nicht mehr, ob das da gefragt war, oder ob man das dann einfach auf diese Weise berechnet...

17.06.2005, 14:12

H3nn1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Formel für das Newtonverfahren lautet hier:

$\begin{eqnarray*} (x,y)_{k+1} = (x,y)_{k} - \frac{f((x,y)_{k})}{f'((x,y)_{k})} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung f'(x, y) ist die Jacobimatrix (Man leitet f(x,y) in der ersten Spalte nach x ab und in der zweiten Spalte nach y und erhält hier eine 2x2 Matrix). Man müsste die Matrix invertieren um die Newtonformel so anwenden zu können. Deshalb kann man in jedem Schritt das folgende Lineare Gleichungssystem lösen:

Allerdings verstehe ich nicht, wie man das denn ableiten soll.
Muss ich jeweils für x und y getrennt ableiten? verwirrt

Kannst Du mir das vielleicht mal zeigen (anhand meines Beispiels)?

17.06.2005, 14:26

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Jacobimatrix in deinem Beispiel erstellt sich folgendermaßen:

Man geht aus von der Funktionsmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^3 +(y-2)^2 - 4 \\ e^{-2x} +x^2 y-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun leitet man getrennt nach x und y ab (Partielle Ableitung):

$\begin{eqnarray*} J = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}f_1 & \frac{\partial}{\partial y}f_1 \\ \frac{\partial}{\partial x}f_2 & \frac{\partial}{\partial y}f_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Partielle Ableitung setzt alle anderen Variablen als "konstant" voraus.

17.06.2005, 14:29

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich Definition schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobimatrix

Gruss yeti

Neue Frage »

Antworten »

Newton-Verfahern mit 2 Variablen

Verwandte Themen