Integralrechnung und kein Weiterkommen

17.06.2005, 13:18

LilyLazer

Integralrechnung und kein Weiterkommen

Hallo,

ich stecke leider bei diesem recht einfachen Integral fest:

$\begin{eqnarray*} y=\int_{}^{}~x^2 * e^{x^3-2}~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist zuerst den Exponent der eFkt zu Substituieren
und dann mit der Partiellen Integration das Produkt aus x²*e^u
auszurechnen.

Doch irgendwie komm ich nicht auf die richtige Lösung (die steht im Buch, aber ohne Weg)

Muß ich da überhaupt die Partiellen Integration anwenden oder was mach ich da falsch? Hilfe

17.06.2005, 13:35

para

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Eigentlich musst du nur einmal substituieren und zwar mit u=x³-2. Das x² fällt dann raus und die e-Funktion lässt sich problemlos integrieren.

17.06.2005, 13:36

LilyLazer

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Zitat:

Original von para
Eigentlich musst du nur einmal substituieren und zwar mit u=x³-2. Das x² fällt dann raus und die e-Funktion lässt sich problemlos integrieren.

Wieso fällt das x² raus?

17.06.2005, 13:40

aRo

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ja, stimmt. die Substitution bringt dich schon ans Ziel.

Vergiss nicht, dass Integral so zu "erweitern", dass dein x² schön wegfällt.
(Stichwort: Ableitung von u).

Gruß,
aRo

17.06.2005, 13:41

para

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Das liegt in der Natur der Substitution. Du teilst doch durch u', und wenn u=x³-2, dann ist u'=3x². Dabei fällt das x² raus. Allgemein gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \int f(u) dx = \int \frac{f(u)}{u'} du \end{eqnarray*}$

Ok?

17.06.2005, 13:43

LilyLazer

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Zitat:

Original von aRo
ja, stimmt. die Substitution bringt dich schon ans Ziel.

Vergiss nicht, dass Integral so zu "erweitern", dass dein x² schön wegfällt.
(Stichwort: Ableitung von u).

Gruß,
aRo

Ja da haperts bei mir leider.

Ich weiß das die Ableitung von e^(x³-2)
y' = 3x² * e^(x³-2)
ist, aber was bringt mir das jetzt??

17.06.2005, 13:57

para

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Integral

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot e^{x^3-2} dx \end{eqnarray*}$

Substitution

$\begin{eqnarray*} u = x^3 -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u' = 3x^2 \end{eqnarray*}$

substituiertes Integral

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot e^{x^3-2} dx = \int \frac{x^2 \cdot e^{u}}{u'} du = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du es schaffen, oder?

17.06.2005, 14:11

LilyLazer

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Zitat:

Original von para
Integral

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot e^{x^3-2} dx \end{eqnarray*}$

Substitution

$\begin{eqnarray*} u = x^3 -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u' = 3x^2 \end{eqnarray*}$

substituiertes Integral

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot e^{x^3-2} dx = \int \frac{x^2 \cdot e^{u}}{u'} du = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du es schaffen, oder?

Ja das hätte ich auch schon vorher geschafft, nur gestern hat mich hier jmd verwirrt.

Er schrieb folgendes:
Die Regel "äußere Funktion integrieren und durch Ableitung der inneren Funktion teilen" gilt nur, wenn die innere Funktion linear ist, das heißt von der Form ax+b. In deinem Fall kommt aber x^4 vor.

Aber wo ist denn in diesem Beispiel das Integral vom Typ ax+b??
Ich hab doch x² * e^x³-2

Und Frage Nummer2:

Kann ich generell immer Substituieren, nur diese Substitutionstabellen mit 10 verschiedenen Typ sind nur hilfen?? Ich dachte man könnte nur substituieren wenn man einen dieser 10 Typen vorliegen hat und nach meinem Verstand hab ich davon in dieser Aufgabe keinen... verwirrt

17.06.2005, 14:55

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Eine Einschränkung der Substitutionsmethode auf bestimmte Typen? Das ist Zensur, und die lassen wir hier nicht zu! smile

Im Ernst, die von dir erwähnten 10 Typen sind tatsächlich nur als wichtige und häufige Anwendungsbeispiele aufzufassen.

17.06.2005, 14:59

LilyLazer

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Dann bleibt noch diese Frage offen:

nur gestern hat mich hier jmd verwirrt.

Er schrieb folgendes:
Die Regel "äußere Funktion integrieren und durch Ableitung der inneren Funktion teilen" gilt nur, wenn die innere Funktion linear ist, das heißt von der Form ax+b. In deinem Fall kommt aber x^4 vor.

Aber wo ist denn in diesem Beispiel das Integral vom Typ ax+b??
Ich hab doch x² * e^x³-2

17.06.2005, 15:06

Calvin

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Zitat:

Original von LilyLazer
Ja das hätte ich auch schon vorher geschafft, nur gestern hat mich hier jmd verwirrt.

Er schrieb folgendes:
Die Regel "äußere Funktion integrieren und durch Ableitung der inneren Funktion teilen" gilt nur, wenn die innere Funktion linear ist, das heißt von der Form ax+b. In deinem Fall kommt aber x^4 vor.

Aber wo ist denn in diesem Beispiel das Integral vom Typ ax+b??

OK, das war ich und zwar in diesem Thread. Ich habe die Werte dort nicht eingesetzt und dachte, dass du die angegebene Funktion als Stammfunktion genutzt hast. Inzwischen kann ich aber nicht nachvollziehen, wie du dort auf die 21,82 kommst. Wenn du dort ein bißchen was zu deinen Rechenschritten schreibst, kann man sehen, wo genau dein Denkfehler lag.

Ich bezog mich dort auf Integrale in folgender Art: $\begin{eqnarray*} \int~f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+c \end{eqnarray*}$ . Mit der Substitution t=ax+b kann man das schnell zeigen und somit eine Stammfunktion einfach ablesen. Genau auf das Ablesen in solchen Fällen bezog sich meine obige Aussage.

In der Aufgabe diesem Thread hast du einen etwas allgemeineren Fall, nämlich $\begin{eqnarray*} \int~f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=F(g(x))+c \end{eqnarray*}$ . Dies kannst du mit der Substitution t=g(x) zeigen.

Bei der Substitution musst du auf alle Fälle durch die Ableitung des substituierten Ausdrucks dividieren (das kommt durch das Ersetzen von dx). Und wenn noch weitere Ausdrücke mit x vorkommen, musst du diese auch substituieren. Wenn alles richtig gemacht wurde, vereinfacht sich das Integral dann.

Ich hoffe, ich konnte dir den Unterschied deutlich machen.

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