Einfacher Körper

17.06.2005, 13:53

Moeki

Einfacher Körper

Zitat:

Beweisen Sie, dass jeder Körper K einfach ist, d.h. dass ConK = $\begin{eqnarray*} \{ \Delta K, \nabla K\} \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \Delta_K := \{(a,a) | a \in K\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nabla_K:= K \times K \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ein Körper (engl.: Field) ist eine mathematische Struktur aus einer Menge M und zwei Verknüpfungen, die üblicherweise als Addition + und Multiplikation * bezeichnet werden, obwohl sie sich von den üblichen Grundrechenarten unterscheiden können.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzrelation

http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation

Ich muss also beweisen, dass der Körper K eine Algebra ist und außer $\begin{eqnarray*} \Delta K und \nabla K \end{eqnarray*}$ keine weiteren Kongruenzrelationen besitzt. Wie mache ich das? Mathespezialisten vor smile

Muss ich beweisen, dass Addition & Multiplikation reflexiv, symmetrisch und transitiv sind??! Hammer

Folgende vom Übungsleiter gegebene Hilfe verstehe ich net ganz.

Für $\begin{eqnarray*} x, y \in K \exists g, g' \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b -a) g = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b-a) g' = y \end{eqnarray*}$ zeigen dann die Umkehrbarkeit.

Danke für eure Hilfe.

17.06.2005, 18:05

Leopold

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Sei $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ungleich $\begin{eqnarray*} \Delta_K \end{eqnarray*}$ . Es müssen daher zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} a,b \in K \end{eqnarray*}$ existieren, die zueinander äquivalent sind. Wenn ich das mit der Verträglichkeit richtig interpretiere, kann man nun mit so einer Äquivalenz rechnen wie mit einer Gleichung. Aus einer Äquivalenz folgt eine weitere, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Operation durchführt. Sei nun $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ beliebig. Wir weisen nach, daß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in einer Äquivalenzklasse liegt. Damit existiert nur eine Äquivalenzklasse, und die Relation ist die Allrelation $\begin{eqnarray*} K \times K \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a \sim b \ \ \ \ \ \text{auf beiden Seiten} \ -b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a-b \sim 0 \ \ \ \ \ \text{auf beiden Seiten} \ \cdot (a-b)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \sim 0 \ \ \ \ \ \text{auf beiden Seiten} \ \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \sim 0 \end{eqnarray*}$

Der Schritt von der zweiten auf die dritte Zeile funktioniert, weil $\begin{eqnarray*} a-b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist und damit ein multiplikatives Inverses existiert.

Ich hoffe, ich habe jetzt hier keinen Stuß erzählt.

18.06.2005, 17:50

Tovok7

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Also das sieht ja recht vielversprechend aus Leopold. Kannst du - oder jmd. anderes - mir bitte erklaeren, wieso nur eine Äquivalenzklasse exisitert, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in einer Äquivalenzklasse liegt? Und warum zeigt dies, dass nur zwei Kongruenzrelationen exisiteren, also $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ einfach ist?

21.06.2005, 10:46

Moeki

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Loed?

22.06.2005, 19:19

Leopold

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Zitat:

Original von Tovok7
wieso nur eine Äquivalenzklasse exisitert, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in einer Äquivalenzklasse liegt?

Äquivalenzklassen sind wie Familien. Alle Verwandten gehören zu einer Familie. Im Unterschied zum wirklichen Leben gibt es aber keine Überschneidungen der Familien. Man muß sich die Familien daher eher wie feindliche Clans vorstellen: jeder Clan für sich.

Wenn nun ein beliebiges (!) Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verwandt ist: $\begin{eqnarray*} x \sim 0 \end{eqnarray*}$ , dann heißt das, daß alle Elemente mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verwandt sind, also auch untereinander verwandt sind (Transitivität einer Äquivalenzrelation). Damit gibt es aber nur eine einzige Familie, also eine Äquivalenzklasse.

Und die ganzen Schlüsse geschahen ja unter der Voraussetzung, daß die gegebene Äquivalenzrelation nicht $\begin{eqnarray*} \Delta_K \end{eqnarray*}$ ist:

Zitat:

Original von Leopold
Sei $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ungleich $\begin{eqnarray*} \Delta_K \end{eqnarray*}$ . Es müssen daher zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} a,b \in K \end{eqnarray*}$ existieren, die zueinander äquivalent sind.

Bleibt also noch der konträre Fall, daß die gegebene Kongruenzrelation eben doch $\begin{eqnarray*} \Delta_K \end{eqnarray*}$ ist. Hier ist kein Element mit einem anderen verwandt. Jedes Element bildet also für sich schon eine Familie, sozusagen die totale Single-Gesellschaft.

24.06.2005, 07:27

Moeki

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Und das gilt für alle Operationen, die ich mit Körpern machen kann oder ist das hier nicht wichtig?

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