Untersuchung von Exponentialfunktionen |
| 16.03.2004, 23:20 | akoolah | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Untersuchung von Exponentialfunktionen f(x) := 4·e^(-1/4·x^4) (Gesprochen: vier mal "e" hoch(minus einviertel x hoch 4) einen Extrempunkt an der Stell x=0? [sorry, kriegs mit dem Formeleditor net so gut hin] Die notwendige Bedingung f'(x)=0 ist für x=0 erfüllt, ABER die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. FRAGE: Ist an der Stelle x=0 die Kurve unterbrochen?Auf dem Graphen sieht es so aus, als ob an dieser Stelle ein Hochpunkt wäre. Die Steigung der Kurve an der Stelle x= 0 ist auch 0, aber die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. Was mache ich falsch, oder ist das soweit richtig? Was hat es dan mit Dem Punkt H [0/4], also dem vermeintlichen Hochpunkt auf sich? Wär super, wenn mir da jemand Klarheit verschaffen könnte. Danke. Ciao |
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| 17.03.2004, 10:33 | börni | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen Hallo akkoolah, 
diese Funtion hat tatsächlich bei x = 0 einen Hochpunkt. Sie hat dort auch keine Lücke, da die Funktion überall (also für alle reellen Zahlen) stetig ist. Das erkennt man daran, dass keine Situation entstehen könnte, in der z.B. ein Nenner Null wird oder eine gerade Wurzel eine negative Zahl als Radikanden hat. Das sind eigentlich die üblichen Fälle, denen man in der Schule begegnet. Es gibt natürlich noch mehr Fälle in denen der Definitionsbereich eingeschränkt werden muß, wie z.B. bei logarithmischen Funktionen oder beim Tangens ... Wie auch immer, bei deiner Aufgabe stößt du auf das Problem, das die 2. Ableitung an der Stelle Null auch wieder 0 ist. Oft ist es dann ein Wendepunkt, bei dem die Steigung zufällig 0 ist, also ein Sattelpunkt. Diesen Fall hättest du, wenn f```(0) ungleich null ist. Ist hier aber auch nicht der Fall und irgendwie habe ich den Eindruck, dass alle Ableitungen an der Stelle 0 wieder Null sind. Daher überprüft man, ob ein Vorzeichenwechsel der Steigung an der Stelle x = 0 vorliegt. Dann hätten wir dort einen Wechsel von positiver zu negativer Steigung der Tangenten, was ja ganz eindeutig für einen Hochpunkt spricht. Die erste Ableitung lautet: e hoch ... Da die e- Funktion immer positiv ist, ist die Ableitung für alle negativen Zahlen positiv und für alle positiven Zahlen negativ. Damit hat man gezeigt, dass es sich bei P( 0 / 4 ) um einen Hochpunkt handelt. Ich hoffe, das hilft dir weiter! Gruß börni |
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| 17.03.2004, 11:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi! Es stimmt nicht, dass alle Ableitungen an der Stelle 0 immer Null sind, obwohl es den Anschein hat. Bereits die 4. Ableitung ist Deren Wert an der Stelle Null ist daher -6 Es gilt allgemein die Regel bei der Untersuchung einer Funktion auf Extremwerte, dass solange abgeleitet werden kann, bis die erste geradzahlige Ableitung an der fraglichen Stelle nicht mehr verschwindet. Diese gibt dann mit ihrem Vorzeichen ebenso Auskunft hinsichtlich der Art des Extremums. Da die 4. Ableitung -6 ist, liegt ein Maximum vor. Weil die dritte Ableitung Null ist, ist es gleichzeitig auch ein Flachpunkt. Die Methode der Untersuchung des Anstieges auf Vorzeichenwechsel ist allerdings ebenso elegant wie wirksam! Gr mYthos |
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