Geschwindigkeit eines Fallschirms (DGL)

18.06.2005, 12:30

jeffcop

Geschwindigkeit eines Fallschirms (DGL)

Hallo Leute!

Sitze gerade über einer für mich sehr schweren DGL. Habe zwar schon ein paar Ansätze gefunden, weiß jedoch jetzt nicht mehr weiter.

Aber hier erst einmal die Aufgabe:

Ein Fallschirmspringer bestitzt eine Fallgeschwindigkeit von 55 m/s gerade als sich sein Fallschirm öffnet (t=0)
Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit nach Öffnung des Fallschirms als Funktion von der Zeit:
Es gilt die DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{W}{g}* v(punkt)=W- \frac{W * v²}{25} \end{eqnarray*}$

W: konstantes Gewicht des Mannes
Luftwiderstand: (W*v^2)/(25N)

---

Also ich habe mal einfach angefangen und das Gewicht rausgekürzt. Denn das hat ja bekanntlich keinen Einfluss auf die Geschwindigkeit. Des weiteren ist ja auch keine Masse gegeben.

Danach habe ich gesehen das die Erste Ableitung des Weges (s) nach der Zeit = v(punkt) ist. demnach habe ich dann v(punkt) = s gesetzt, nach s umgestellt und dann über dt integriert.

Heraus kommt dann das hier:

v=t*g*(1-0,04v²)

Und dann wurde ich stutzig und merkte das, dass nicht sein kann. Denn wieso habe ich immer noch ein v²? Und wieso habe ich die Zeit als Faktor, wenn diese doch bei t=0 0 ist und so ja auch die Geschwindigkeit null wird.

Ich hoffe Ihr könnt mir einigermaßen folgen, weiß das dieser Ansatz offensichtlich falsch ist, und freuen mich schon auf viele Antworten.

18.06.2005, 13:19

sqrt(2)

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RE: Geschwidigkeit eines Fallschirms (DGL)

Zitat:

Original von jeffcop

Danach habe ich gesehen das die Erste Ableitung des Weges (s) nach der Zeit = v(punkt) ist. demnach habe ich dann v(punkt) = s gesetzt, nach s umgestellt und dann über dt integriert.

Ich verstehe zwar nicht viel von Differenzialgleichungen, aber für mich ist in der mir bekannten Notation $\begin{eqnarray*} \dot{v}=\ddot{s}=a \end{eqnarray*}$ , die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist eben die Beschleunigung.

18.06.2005, 13:20

iammrvip

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Hallo

Du hast also:

$\begin{eqnarray*} \frac{W}{g}\dot v = W - \frac{Wv^2}{25} \end{eqnarray*}$

und teilst durch $\begin{eqnarray*} W \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g}\dot v = 1 - \frac{v^2}{25} \end{eqnarray*}$

Okay das ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g}\dot v = \frac{25 - v^2}{25} \end{eqnarray*}$

Jetzt trennst du einfach die Variablen und integrierst.

18.06.2005, 14:44

jeffcop

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noch nicht ganz verstanden
Okay, stimmt mit der Trennung der Variablen sollte das zu lösen sein. Jedoch stellt sich mir jetzt die Frage wie ich weitermache.

Also Ich habe jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} = \frac{g*(25-v²)}{25} \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich denn das v² auf die linke Seite?

Also das ich diese Version habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{v}=(...)dt \end{eqnarray*}$

18.06.2005, 14:59

iammrvip

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Du teilst einfach durch:

$\begin{eqnarray*} (25 - v^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} &=& \frac{g(25-v^2)}{25} \\ \frac{\mathrm dv}{25 - v^2} &=& \frac{g}{25}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du integrieren.

18.06.2005, 15:27

jeffcop

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So also erst einmal danke für deine Hilfe. Freude

Ich habe jetzt mal integriert und nach dem ich alle Werte eingesetzt habe, habe ich 4,9 m/s raus.

Stimmt das?

meine Endformel heißt:

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{-e^\frac{-g*t}{25} + 25} \end{eqnarray*}$

kann das stimmen?

18.06.2005, 15:36

iammrvip

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Du hast doch:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} &=& \frac{g(25-v^2)}{25} \\ \frac{\mathrm dv}{25 - v^2} &=& \int\frac{g}{25}\mathrm dt \\ \frac{1}{5}{\rm artanh}~\frac{v}{5} &=& \frac{g}{25}t + C \\ \frac{v}{5} &=& \tanh\left(\frac{g}{5}t + 5C\right) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ ?

18.06.2005, 17:32

jeffcop

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Okay das habe ich verstanden.

Aber was wird denn jetzt aus meinem C? Kann ich das bestimmen? Oder lasse ich einfach die Gleichung so stehen?

18.06.2005, 17:42

iammrvip

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Du weißt ja, dass der Springer zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ eine Geschwingkeit von $\begin{eqnarray*} 55ms^{-1} \end{eqnarray*}$ besaß.

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} v(0) = 55 \end{eqnarray*}$

das kannst du nach C auflösen. Augenzwinkern

18.06.2005, 18:15

jeffcop

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Sorry das ich das immer noch nicht peile, aber wenn ich die gleichung nach c auflösen geht das nicht.

Denn ich habe ja dann den artanh(11) und das geht ja nicht.

19.06.2005, 11:49

jeffcop

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sorry das ich noch mal nachhacke aber ich komme leider immer noch nicht weiter.

19.06.2005, 14:42

iammrvip

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Stimmt hier sollten wir anders integrieren oder die Definiton des tanh ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dv}{25 - v^2} &=& \int\frac{g}{25}\mathrm dt \\ \frac{1}{10}\ln\frac{v + 5}{v - 5} &=& \frac{g}{25}t + C \\ \frac{v + 5}{v - 5} &=& C\mathrm e^{\frac{2}{5}gt} \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt nach v auflösen und danach auch nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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