Beweis von Abgeschlossenheit durch Widerspruch

18.06.2005, 14:59

MisterMagister

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Beweis von Abgeschlossenheit durch Widerspruch

Hallo Leute, ich möchte durch Widerspruch beweisen, dass eine Menge abgeschlossen ist.
Also nehme ich an, dass die Menge nicht abgeschlossen ist und zeige dann, dass sie nicht offen sein kann.
Habe ich dann den Widerspruch und die Behauptung gezeigt?

Soweit ich weiss kann eine Menge nur offen, abgeschlossen oder beides sein. Wenn ich Abgeschlossenheit ausschließe, so schließe ich ja auch den Fall offen und abgeschlossen aus und es würde nur offen übrig bleiben, oder?
Wenn das dann aber auch nicht der Fall ist, dann muss doch die Annahme falsch sein.

18.06.2005, 15:23

Leopold

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unglücklich

Du scheinst anzunehmen, daß jede Menge offen oder abgeschlossen ist. Das ist aber nicht richtig. Einfache Beispiele in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind das halboffene Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ oder etwas exzentrischer $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

18.06.2005, 15:45

MisterMagister

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Genau das war die, zugegeben etwas implizite, Frage.
Diese Mengen sind also weder offen, noch abgeschlossen und auch nicht offen und abgeschlossen, ja?

18.06.2005, 16:12

Leopold

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So ist's.

18.06.2005, 16:21

MisterMagister

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Aber gilt das auch für Teilmengen von metrischen Räumen?

18.06.2005, 16:26

AD

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist doch ein metrischer Raum, zumindest mit der üblichen euklidischen Metrik!!!

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18.06.2005, 16:46

MisterMagister

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Ich habe noch ein paar Fragen, was das Thema der topologischen Grundbegriffe angeht und ich denke mal, dass ich dafür nicht jedesmal ein neues Thema anfangen soll, also hoffe ich, dass es euch nichts ausmacht, wenn wir diese hier gleichzeitig behandeln.

Also ich weiss ja, dass alle Mengen der Art

$\begin{eqnarray*} M=\{x \in \mathbb{R}^n|~ ~ \|x\| \leq C\} \end{eqnarray*}$

abgeschlossen und beschränkt sind.
Zum Beweis der Abgeschlossenheit habe ich mir überlegt, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x_n := \frac{n}{n+1}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{}x_n = x \end{eqnarray*}$
dabei ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in M, denn

$\begin{eqnarray*} \|x_n\| = \|\frac{n}{n+1}x\| = |\frac{n}{n+1}|~ ~\|x\| < \|x\| \leq C \Rightarrow x_n \in M ~ ~ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Damit gilt für den Rand von M

$\begin{eqnarray*} \bar M = \{x \in M | ~ ~\exists (x_n):\lim_{}x_n = x \mbox{ und } x_n \mbox{ ist Folge in } M\} = M \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \bar M \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen (gilt immer) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.

18.06.2005, 17:19

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Zitat:

Original von MisterMagister
Zum Beweis der Abgeschlossenheit habe ich mir überlegt, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x_n := \frac{n}{n+1}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{}x_n = x \end{eqnarray*}$
dabei ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in M, denn

$\begin{eqnarray*} \|x_n\| = \|\frac{n}{n+1}x\| = |\frac{n}{n+1}|~ ~\|x\| < \|x\| \leq C \Rightarrow x_n \in M ~ ~ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Deine "Begründung" kann man (fast) 1 : 1 übertragen auf

$\begin{eqnarray*} M=\{x \in \mathbb{R}^n|~ ~ \|x\|< C\} \end{eqnarray*}$

Also muss irgendwas dran faul sein, nicht wahr?

18.06.2005, 21:59

MisterMagister

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Ja, das ist mir auch schon aufgefallen. Das könnte man dann auch für offene Mengen machen. Wäre dann meine nächste Frage gewesen. Ich komm' aber nicht drauf wo der Haken ist.

19.06.2005, 17:08

Mathespezialschüler

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Verschoben

21.06.2005, 09:40

MisterMagister

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Zitat:

Original von MisterMagister
Damit gilt für den Rand von M

$\begin{eqnarray*} \bar M = \{x \in M | ~ ~\exists (x_n):\lim_{}x_n = x \mbox{ und } x_n \mbox{ ist Folge in } M\} = M \end{eqnarray*}$

Oh oh, da meinte ich doch gar nicht den Rand, sondern den Abschluss von M.

27.06.2005, 10:42

AD

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Vielleicht gehst du mal ganz zurück auf die Definition einer abgeschlossenen Menge. Was du hier bisher betrachtet hast, nennt man folgenabgeschlossen, was in einem metrischen Raum zwar äquivalent zu abgeschlossen ist, aber nicht unbedingt beweistechnisch immer die einfachere Variante ist.

In einem allgemeinen topologischen Raum heißt eine Menge abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Und eine Menge heißt offen, wenn es für jeden ihrer Punkte eine Umgebung gibt, die vollständig in der Menge enthalten ist. Was dein Beispiel im normierten Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ betrifft, so kannst du durch Nachweis der Offenheit von

$\begin{eqnarray*} M^c=\left\{x \in \mathbb{R}^n \bigm| \|x\|> C \right\} \end{eqnarray*}$

die Abgeschlossenheit von M beweisen.

27.06.2005, 11:00

MisterMagister

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Ok. Das hatten wir in der Vorlesung. Als Radius wähle ich einfach

$\begin{eqnarray*} r = \|x\|-C \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} B_r(x) \subset M^{C} \quad \forall x \in M^{C} \end{eqnarray*}$ .

Aber zu einem Zeitpunkt wo ich das noch nicht wusste, bin ich auf die Idee mit den Folgen gekommen, habe dann aber festgestellt dass dieser Beweis auch für offene Mengen normierter Vektorräume funktionieren müsste.

Da hat es mich halt einfach interessiert, wo jetzt der Haken ist, das heißt funktioniert es vielleicht doch nicht für offene Mengen oder ist der Beweis falsch? Und warum?

27.06.2005, 11:07

AD

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Also ein entscheidender Fehler liegt schon mal hier:

Zitat:

Original von MisterMagister
$\begin{eqnarray*} \bar M = \{x \in M | ~ ~\exists (x_n):\lim_{}x_n = x \mbox{ und } x_n \mbox{ ist Folge in } M\} \end{eqnarray*}$

Es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \bar M = \left\{x \in \mathbb{R}^n \bigm| \exists (x_n):\lim_{}x_n = x \mbox{ und } x_n \mbox{ ist Folge in } M\right\} \end{eqnarray*}$

27.06.2005, 11:11

MisterMagister

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Ja, und damit kann es für offene Mengen nicht mehr hinhauen.
Dann kommt es doch hin! War es das dann? Oder ist nochwas falsch?

27.06.2005, 11:16

AD

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Ja, denn für die offene Menge

$\begin{eqnarray*} M=\{x \in \mathbb{R}^n|~ ~ \|x\|< C\} \end{eqnarray*}$

gilt

$\begin{eqnarray*} \overline{M} = \{x \in \mathbb{R}^n|~ ~ \|x\|\leq C\} \end{eqnarray*}$

27.06.2005, 11:28

MisterMagister

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Schön. Dankeschön.
Dann hätte ich (voraussichtlich) nur noch eine allerletzte Frage.

Was war nochmal mit Urbildern stetiger Funktionen?

Wen f eine stetige Funktion ist, dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} U \, \mbox{ist offen} \Rightarrow f^{-1}(U) \, \mbox{ist offen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \, \mbox{ist abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \, \mbox{ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$

Richtig? Oder gilt vielleicht sogar die Äquivalenz?

27.06.2005, 12:08

gast1

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Das ist richtig, und erfüllt eine Funktion eine der beiden Bedingungen, ist sie bereits stetig, es gilt also eine Äquivalenz.
Meintest du allerdings mit Äquivalenz, dass für eine stetige Funktion
U offen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \, f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ ist offen
gilt, so ist dies nicht richtig, wie du dir sehr leicht durch Gegenbeispiele klar machst (auch für abgeschlossen stimmt es damit natürlich nicht).

27.06.2005, 19:27

MisterMagister

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Ok. Super. Ich danke euch.

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