Bogenlänge

18.06.2005, 14:39

BartS

Bogenlänge

Hi Leute,
hab ne Funktion y=lnx und soll die Bogenlänge für 0,75<=x<=2,4 ausrechnen.
Hab jetzt folgende Formel:
L= >Integral \sqrt{1+ \frac{1}{x^{2}} }dx
Is das richtig?
Wie soll ich dann weitermachen.
Komme nämlich nicht mit der Substitution zurecht.
(1+x²=t²)
Kann mir da einer nen Tipp geben, wie ich das machen soll.

18.06.2005, 14:42

iammrvip

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Hallo

Es wäre nett, wenn du uns die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ an sich verraten könntest.

Die Bogenlänge im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ berechnet sich dann über

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b\sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

18.06.2005, 14:44

BartS

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Die Funktion lautet f(x) = ln x

18.06.2005, 14:54

iammrvip

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Okay, war nicht böse gemeint Augenzwinkern

.

Bilde mal Hauptnenne und ziehe dort wo du kannst die Wurzel.

18.06.2005, 16:18

Leopold

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Substituiere $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{\sinh{t}} \end{eqnarray*}$ und forme wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}(\coth{t}) = \left( 1 - \coth^2{t} \right) \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ folgendermaßen um:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~-\coth^2{t}~\mathrm{d}t \ = \ \int_{}^{}~\left( 1 - \coth^2{t} \right)~\mathrm{d}t \ - \ \int_{}^{}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

18.06.2005, 18:17

iammrvip

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RE: Bogenlänge

Zitat:

Original von BartS
Wie soll ich dann weitermachen.
Komme nämlich nicht mit der Substitution zurecht.
(1+x²=t²)

Sollst du diese Substitution verwenden verwirrt

18.06.2005, 20:32

BartS

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ja genau!

18.06.2005, 22:32

Leopold

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Mit meiner Substitution funktioniert es (siehe meinen vorigen Beitrag), mit der hier angegebenen geht es aber ebensogut.

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 = t^2 \ (x>0 \, , \, t>1) \ \ \Rightarrow \ \ x = \sqrt{t^2-1} \, , \ \mathrm{d}x = \frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Man kann folglich rechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}~\mathrm{d}x \ = \ \int_{}^{}~\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}~\mathrm{d}x \ = \ \int_{}^{}~\frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \cdot \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}~\mathrm{d}t \ = \ \int_{}^{}~\frac{t^2}{t^2-1}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \int_{}^{}~\left( 1 + \frac{1}{t^2-1} \right)~\mathrm{d}t \ = \ \int_{}^{}~\mathrm{d}t \ + \ \frac{1}{2} \int_{}^{}~\left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right)~\mathrm{d}t \ = \ \text{usw.} \end{eqnarray*}$

19.06.2005, 12:24

iammrvip

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Ich finde deine Variante auch eleganter, nur muss man sich ja an die Vorschriften der Aufgaben halten. Freude

.

Man kann auch gleich Grundintegrale nutzen:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x^2 - 1}\mathrm dx = {\rm artanh}~x + C \end{eqnarray*}$

bzw. du substituierst:

$\begin{eqnarray*} t = \tanh u \end{eqnarray*}$

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