Skalarprodukt

18.06.2005, 18:48

Gast2

Skalarprodukt

Hallo, meine Aufgabe ist es zu prüfen, ob es auf V ein Skalarprodukt (f $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ g) gibt mit (f $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ f) = $\begin{eqnarray*} \mid \mid f \mid \mid^{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich das mit den drei Bedingungen eines Skalarproduktes prüfen?
1. bilinear
2. symmetrisch
3. positiv definit

Wäre schön, wenn mir jemand weiter helfen könnte smile

18.06.2005, 20:28

JochenX

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was ist denn V? ist das ein besonderer vektorraum?
welche norm soll das sein? die durch das skalarprodukt selbst induzierte?

18.06.2005, 20:44

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Ich denke, es ist "andersrum" gedacht: Es wird von einem normierten Raum $\begin{eqnarray*} (V,\|\cdot\|) \end{eqnarray*}$ ausgegangen und gefragt, ob es ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle\cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \langle f,f\rangle=\|f\|^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in V \end{eqnarray*}$ gibt.

Das Stichwort dazu lautet Parallelogrammgleichung (Abschnitt "Die Gleichung in Vektorräumen" im Wikipedia-Eintrag).

19.06.2005, 11:51

Gast2

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Mhh, habe mir das nun angeschaut, erstmal danke dafür! Aber wie bringe ich denn das in Verbindung mit meiner Aufgabe, ich könnte das zwar nun auf das Skalarprodukt (f $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ f) übertragen, aber wie stell ich die Verbindung zu (f $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ g) her?

19.06.2005, 12:02

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Richtig aufmerksam durchgelesen hast du den Wikipedia-Beitrag aber nicht! unglücklich

Im letzten Teil gibt er nämlich zwei erschöpfende Antworten auf dein Problem:

1.) Welche Bedingung muss eine Norm erfüllen, damit ein dazu passendes Skalarprodukt existiert?

Antwort: Genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gilt!

2.) Angenommen, die Bedingung in 1.) ist erfüllt. Wie sieht dann das Skalarprodukt aus?

Antwort: $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle = \frac{1}{2}\left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right) \end{eqnarray*}$

19.06.2005, 12:21

Gast2

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Ok, das ist jetzt vielleicht eine sau blöde Frage, aber wie kommst du denn vom obigen auf das Skalarprodukt?

19.06.2005, 12:38

Gast2

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Ok, ne habe ich schon verstanden, hatte ein Brett vor dem Kopf...

19.06.2005, 12:51

Gast2

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Kann es sein, dass ich jetzt die erste Bedingung für mein $\begin{eqnarray*} (f \mid g) \end{eqnarray*}$ setze und dann schaue, wenn ich es nach $\begin{eqnarray*} (f \mid f) \end{eqnarray*}$ auflöse, ob dann das $\begin{eqnarray*} \mid \mid f \mid \mid^{2} \end{eqnarray*}$ rauskommt? Ne das kann ja eigentlich nicht... Bin ich denn so schon auf dem richtigen Weg oder geht das nun voll vorbei??

19.06.2005, 14:54

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Also nochmal: Die erste Bedingung wird einfach nur durch Einsetzen überprüft. Nur dann, wenn sie für alle x,y auch tatsächlich gilt, gibt es ein Skalarprodukt, was zu der Norm passt im Sinne von $\begin{eqnarray*} \|f\|^2=\langle f,f\rangle \end{eqnarray*}$ . Und wie man das dann ausrechnen kann, sagt dann 2.). Zu 2.) gibt es durchaus auch Berechnungs-Alternativen wie etwa

$\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle = \frac{1}{4}\left(\|f+g\|^2 - \|f-g\|^2\right) \end{eqnarray*}$

19.06.2005, 16:20

Gast2

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Aber eins verstehe ich nicht, denn die erste Gleichung (Bedinung 1) beinhaltet ja das Innenprodukt und die zweite Gleichung, da habe ich das nun so verstanden, dass diese gilt, wenn es kein Innenprodukt gibt... und somit sind es doch zwei verschiedene Gleichungen, die nix miteinander zu tun haben, oder? Deswegen verstehe ich deine Art die Aufgabe zu lösen nicht richtig...
Könntest du mir das vielleicht erklären? Wäre echt dankbar dafür...

19.06.2005, 16:24

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Zitat:

Original von Gast2
Aber eins verstehe ich nicht, denn die erste Gleichung (Bedinung 1) beinhaltet ja das Innenprodukt

Nein, beinhaltet sie nicht: Nur die Norm!!!

19.06.2005, 16:32

Gast2

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Das gut, dann bin ich doch schon etwas erleichtert, aber mein Ding, warum ich ein wenig gezweifelt habe ist, dass ich mit der ersten ja nun prüfe, ob ein Skalarprodukt existiert, was zu der Norm, die mir vorgegeben ist, passt, dass wird es dann ja wohl geben, da es ja nur andere Variablen sind... Aber ich verstehe nun nicht wie man das nun aus 2. berechnen soll, ich hätte das nun so verstanden, dass ich die Gleichung einfach so umforme, dass ich hinterher $\begin{eqnarray*} (f \mid f) \end{eqnarray*}$ alleine auf einer Seite habe oder ist das falsch, denn das bereitet mir ein bißchen Probleme...

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