Grenzwert einer Reihe mit Fourier

18.01.2008, 10:26

LowDepth

Grenzwert einer Reihe mit Fourier

Hallo, ich soll den Grenzwert der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{(2 \cdot k-1)^k}=1+ \frac {1}{3^2}+ \frac {1}{5^2}+...=\frac {\pi^4}{96} \end{eqnarray*}$

mittels Fourier Integral und der Beziehung
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=- \infty}^{+ \infty}~\mid c_k \mid^2=\frac {1}{2 \pi}\cdot \int_{0}^{2 \pi}~\mid y_{(t)} \mid^2~dt \end{eqnarray*}$

ermitteln. Als Tipp ist angegeben, dass man die Fourier Reihe der "Dreieckskurve" verweden soll. In der Vorlesung habe die Fourier-Transformation leider nur sehr liederlich erklärt bekommen, deshalb nur mal kurz, was ich zu dieser Aufgabe zu wissen glaube:

Wenn eine Funktion wie z. B. eine Dreiecksfunktion über eine Periode abschnittsweise definiert ist, dann kann ich eine Reihe aufstellen, die mit Hilfe von unendlich vielen Kosinus und Sinus Termen mit den Koeffizienten ak und bk die Funktion die ursprüngliche Funktion darstellt.
Das Ganze funktioniert auch komplex, weil ein komplexer Zeiger Kosinus und Sinus anteile hat. Man hat dann nur noch einen Koeffizienen ck, der komplex ist...

Kann mir jemand Denkanstöße geben, wie ich die gestellte Aufgabe anpacken kann?

18.01.2008, 10:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe mit Fourier

Zitat:

Original von LowDepth
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{(2 \cdot k-1)^k}=1+ \frac {1}{3^2}+ \frac {1}{5^2}+...=\frac {\pi^4}{96} \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{(2 \cdot k-1)^2}=1+ \frac {1}{3^2}+ \frac {1}{5^2}+... \end{eqnarray*}$

Als erstes solltest du eine Funktionsgleichung für die Dreieckskurve aufstellen sowie die zugehörigen Fourierkoeffizienten ermitteln.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 1+ \frac {1}{3^2}+ \frac {1}{5^2}+... > 1+ \frac {1}{3^2} = \frac{10}{9} > 1,1 > \frac {\pi^4}{96} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Und so sieht das aus:

19.01.2008, 11:57

LowDepth

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Hm stimmt, ich habe bei der Klammer den Exponenten aus versehen gleich "k" gesetzt... aber mein Ergebnis auf das ich gestern noch gekommen bin ist auch nicht schlecht :-). Für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac {1}{(2 \cdot k-1)^2} \end{eqnarray*}$ bin ich dann nämlich auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac {\pi^2}{8} \end{eqnarray*}$ gekommen. Ich habe anschließend den Grenzwert mit Maple berechnen lassen und er stimmt Augenzwinkern

(zumindest numerisch bis auf x-stellen).

Auf die eigentliche Aufgabenstellung werde ich mein Vorgehen jetzt auch noch anwenden. Ich bin gestern durch Grübeln und Probieren auf die Methode gekommen, die du vorgeschlagen hast.
Grundsätzlich muss man zur Grenzwertermittlung also eine Fouriertransformierte finden, deren Koeffizienten die gleichen "Eigenschaften" besitzen, wie die Glieder der Reihe. Handelt es sich um eine alternierende Reihe, so muss man eben eine Fouriertransformierte finden, bei der sich die Koeffizienten auch alternierend verhalten.
Was mir noch nicht ganz klar ist, ist wie der Einfluss des konstanten "a0" auf den Grenzwert ist. Vielleicht wird deutlicher, was ich meine...:
$\begin{eqnarray*} f_{(t)}= a_0+\sum_{k=1}^\infty~a_k \cdot cos(\omega \cdot k \cdot t)+b_k \cdot sin(\omega \cdot k \cdot t) \end{eqnarray*}$

Diese ak und bk haben irgend einen konstanten Faktor vor der Abhängigkeit von k, wie z. B. 2/Pi oder so. Wenn ak und bk den selben konstanten Faktor (den nenne ich jetzt einfach C) haben, bzw. entweder ak oder bk Null ist, kann ich diesen Faktor vor die Summe ziehen.
Der Vollständigkeitssatz liefert mir dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{f_{(t)} -a_0}{C}=c_k \end{eqnarray*}$ -> "gesuchter Grenzwert" = $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{0}^{2\pi}~\frac {f_{(t)}-ao}{C}~dt \end{eqnarray*}$

Was ich geschrieben habe gilt nur für ein 2Pi periodisches Signal (sonst sind die Integrationsgrenzen anders). Desweiteren kann f(t) ja abschnittsweise definiert sein, oder? Das ist ja bei einer Dreieckskurve der Fall. Dann muss ich doch jeweils die Funktionen, die f(t) in ihrem Definitionsbereich annimmt für die "Definitionszeit" integrieren und am Schluss die Summe der partiellen Integrale bilden, oder?

19.01.2008, 14:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von LowDepth
Der Vollständigkeitssatz liefert mir dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{f_{(t)} -a_0}{C}=c_k \end{eqnarray*}$ -> "gesuchter Grenzwert" = $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{0}^{2\pi}~\frac {f_{(t)}-ao}{C}~dt \end{eqnarray*}$

Kann sein, daß ich bei der Fouriertransformation Wissenslücken habe, aber das habe ich noch nicht gesehen.

Zitat:

Original von LowDepth
Desweiteren kann f(t) ja abschnittsweise definiert sein, oder? Das ist ja bei einer Dreieckskurve der Fall. Dann muss ich doch jeweils die Funktionen, die f(t) in ihrem Definitionsbereich annimmt für die "Definitionszeit" integrieren und am Schluss die Summe der partiellen Integrale bilden, oder?

Ja.

Wie schon gesagt: du mußt eigentlich nur die Funktionsgleichung für die Dreieckskurve aufstellen sowie die zugehörigen Fourierkoeffizienten ermitteln. Alles andere ergibt sich von selbst.

22.01.2008, 12:42

LowDepth

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Zitat:

Zitat: klarsoweit
Original von LowDepth
Der Vollständigkeitssatz liefert mir dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{f_{(t)} -a_0}{C}=c_k \end{eqnarray*}$ -> "gesuchter Grenzwert" = $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{0}^{2\pi}~\frac {f_{(t)}-ao}{C}~dt \end{eqnarray*}$

Kann sein, daß ich bei der Fouriertransformation Wissenslücken habe, aber das habe ich noch nicht gesehen.

Komisch, denn genau das hat mein Prof. gemacht. Meine Frage mit dem partiellen Integrieren hat sich auch darauf bezogen... wenn f(t) nun abschnittsweise definiert ist, dann weis ich nicht genau, wie ich bei dem Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\frac {f_{(t)}-ao}{C}~dt \end{eqnarray*}$
vorgehen soll. Mein Prof. hat bei der Dreiecksfunktion dann einfach als f(t) ="+t" genommen und von 0 bis 2Pi integriert. Weiterhin ist es sehr seltsam, dass dir das nicht bekannt vor kommt. Ich hab meinem Professor schon mal eine E-mail geschrieben und ihn gefragt, ob das alles richtig ist, oder ich etwas falsch verstanden habe.

Gruß und danke bis hier hin Augenzwinkern

22.01.2008, 13:03

klarsoweit

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Es kommt halt drauf an, wie man das Thema Fouriertransformation aufzieht. Eine Möglichkeit ist, die Fourierreihe so zu definieren:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot cos(kx) + \sum_{k=1}^{\infty}~b_k \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten sind dabei:

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~f(x) \cdot cos(kx) \end{eqnarray*}$ k >= 0

und

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~f(x) \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$ k >= 1

Habt ihr das so gemacht oder anders? Das wäre erstmal zu klären.

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