Zeigen der Differenzierbarkeit?

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oldwise Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen der Differenzierbarkeit?
hallo, ich habe hier eine Funktion und soll überprüfen, ob sie im Punkt differenzierbar ist.

Die Funktion lautet und es gilt .

Ich kenne das Kriterium von Differenzierbarkeit:

Eine Funktion ist differenzierbar im Punkt a, wenn gilt und .

ähmm, in welcher Form kann/sollte ich das jetzt anwenden?

hab da noch keine Idee/Erfahrung! Bitte um Hilfe Hilfe
phi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen der Differenzierbarkeit?
Der Punkt selbst ist schon mal differenzierbar:
Die Ableitung lautet , die Frage ist nun ob links- und rechts-seitige Ableitung übereinstimmen...also von rechts gegen 0 und von links gegen 0.

Das Kriterium von Differenzierbarkeit kenn ich leider nicht. Was ist T ?

(Eine Funktion ist differenzierbar im Punkt a, wenn gilt und .)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen der Differenzierbarkeit?
Zitat:
Original von phi
Der Punkt selbst ist schon mal differenzierbar

unglücklich unglücklich unglücklich

Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft des lokalen Verhaltens einer Funktion. Es ist daher immmer eine Umgebung der kritischen Stelle miteinzubeziehen. Die Aussage "der Punkt ist differenzierbar" ist somit sinnlos.

Der in der Aufgabe angesprochenen Differenzierbarkeitsbegriff ist die Stolzsche Differenzierbarkeit oder auch totale Differenzierbarkeit. Wenn eine Funktion an einer Stelle total differenzierbar ist, dann ist sie auch partiell differenzierbar. Jetzt überprüfe erst die partielle Differenzierbarkeit bei , d.h. betrachte für reelles die Differenzenquotienten

für die partielle Differenzierbarkeit nach

für die partielle Differenzierbarkeit nach

und ihren Limes für . Wenn du hier schon scheiterst, dann ist die Funktion nicht partiell differenzierbar, erst recht also nicht total differenzierbar. Wenn du dagegen Erfolg hast, so gehe mit der Zeilenmatrix in die Definition der totalen Differenzierbarkeit und überprüfe, ob sie erfüllt ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung:

Zitat:
Original von oldwise
Eine Funktion ist differenzierbar im Punkt a, wenn gilt und .

Das stimmt nicht ganz:

Die letzte Bedingung muss ersetzt werden durch . Ein erheblicher Unterschied!
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

aha Idee! vielen dank!
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist noch eine Frage zu dem Thema gekommen:

und zwar unterscheidet ja man zwischen partieller und totaler differenzierbarkeit.

ich weiß dass folgende implikationen gelten

partielle Diffb. total Diffb.
partielle Diffb. total Diffb.

wenn eine Funktion nicht partiell Diffb. ist, ist sie dann nicht total Diffb. ?
Eigentlich schon, oder? zumindest fällt mir nicht ein, warum es nicht so sein sollte... verwirrt

2.Frage: wenn eine Funktion nicht total Diffb. ist, ist sie dann nicht stetig? verwirrt
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Frage:
Das stimmt. Es ist ja nur die Kontraposition der von dir selbst aufgeführten zweiten Implikation.

Zweite Frage:
Die Funktion der Aufgabe ist im Nullpunkt stetig und partiell differenzierbar, aber nicht total differenzierbar.
Zur Stetigkeit beachte



Das Pluszeichen steht, wenn gleiches, das Minuszeichen, wenn sie verschiedenes Vorzeichen haben.
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Pluszeichen steht, wenn gleiches, das Minuszeichen, wenn sie verschiedenes Vorzeichen haben.


ja und? verwirrt

es geht mir jetzt auch nicht konkret um diese Funktion, sondern generell!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, sorry. Ich nehme alles zurück! Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von oldwise
es geht mir jetzt auch nicht konkret um diese Funktion, sondern generell!


Ich denke, mein Beitrag beantwortet auch deine zweite Frage, wenn auch anders als du meinst ...

Denke noch einmal darüber nach ...
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