Komposition mit sich selbst

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Merlett Auf diesen Beitrag antworten »
Komposition mit sich selbst
Hallo!
Ich brauche mal wieder ne Idee wie ich eine Aufgabe lösen kann.

Die Aufgabe habe ich als jpg angehängt.

Es geht mir dabei nur um die 9 b)
Ich habe leider keinen Ansatz wie ich das Ding lösen kann. Ich verstehe nämlich nicht mal genau die Fragestellung... Wie kann ich die kleinsten Zahlen bestimmen? Gibt es dafür eine Formel? und was bedeutet "... so daß gilt f hoch (k) = id index M..." Wo kommt das id her und was bedeutet es?

Danke im Vorraus!

Merlett
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

id ist die identische Abbildung, durch die jedes x auf sich selbst abgebildet wird.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Identität. Also .
Natürlich gibt es dafür eine Formel, allerdings weiß ich nicht wie weit ihr bereits seid.
Das sind ja Elemente der Symmetrischen Gruppe, die kannst du als Produkt disjunkter Zyklen schreiben. Die Ordnung(also die kleinsten Zahlen so das es id gibt) ist dann das kgV der Längen der Zyklen.

Falls dir das jetzt gar nichts sagt, führe doch einfach ein paarmal die Komposition durch. Weißt du wie das geht?
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

Da wäre ja f o f o f ect...

also f eingesetzt in f und so weiter:

1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

1 2 3 4 5
2 1 5 3 4

und das dann wieder in f

1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

das heißt also es kommt immer wieder das ursprüngliche System herraus.

Nur was sagt mir das? Was sind davon jetzt die kleinsten zahlen k,l € N ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ja nicht stimmen. Du hast:
1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

jetzt bildest du . Da ist, .
Der hintere Teil(3,4,5) stimmt beim ersten mal, dannach hast du aber anstatt gebildet. Versuch es nocheinmal systematisch smile
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal das ganze:

f:
1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

f o f:
1 2 3 4 5
1 2 5 3 4

das wieder in f:

1 2 3 4 5
1 2 4 5 3

okay... das heißt also 1 und 2 bleiben nach dem ersten mal immer gleich und 3 4 5 wechseln immer ihre Reihenfolge, richtig?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlett
das heißt also 1 und 2 bleiben nach dem ersten mal immer gleich


Das ist erstens falsch ausgedrückt und zweitens auch noch falsch, weil deine Komposition f o f o f nicht stimmt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was du machst ist zu bestimmen.
Du benutzt also die 2.Tabelle wieder. Du musst aber wieder die 1. Tabelle nehmen.
Schreibe es doch einfach mal explizit hin:
.
usw.
Das musst du eben für alle Werte machen
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

uff, okay vielleicht begreif ich das in diesem leben noch :-)
Also auf ein neues:

1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

f(f(1)) = f(2) = 1
f(f(2)) = f(1) = 2
f(f(3)) = f(4) = 5
f(f(4)) = f(5) = 3
f(f(5)) = f(3) = 4

f o f:
1 2 3 4 5
1 2 5 3 4

dann f(f o f): also wert aus der zweiten tabelle eingesetzt in die erste oder?
f(f(1)) = f(1) = 2
f(f(2)) = f(2) = 1
f(f(3)) = f(5) = 3
f(f(4)) = f(3) = 4
f(f(5)) = f(4) = 5

1 2 3 4 5
2 1 3 4 5

Bin ich jetzt so weit jetzt richtig? (sorry wenn ich mich so doof anstelle)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlett
dann f(f o f): also wert aus der zweiten tabelle eingesetzt in die erste oder?
f(f(1)) = f(1) = 2
f(f(2)) = f(2) = 1
f(f(3)) = f(5) = 3
f(f(4)) = f(3) = 4
f(f(5)) = f(4) = 5

Hier muss es natürlich heißen:
f(f(f(1))) = f(1) = 2.
Die Werte stimmen jetzt aber smile .
Hast du schon eine Ahnung was jetzt als Wert rauskommt?
Tipp: Die ersten 2 Zahlen brauchen 2mal um zum Ausgangswert zurückzukommen, die letzten 3 Zahlen brauchen 3mal.
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da bin ich schonmal froh das die Werte stimmen :-)

Aber wie kann ich das jetzt als Lösung ausdrücken?

Also wenn ich alle Informationen aus den vorherigen Posts benutze dann heißt das ich muss das kleinste gemeinsame Vielfache der anzahl der "Einsetzungen finden nachdem dann wieder die Ursprungstabelle da ist???

Also zweimal für die ersten beiden zahlen und dreimal für die letzten beiden.
kgV= 6

f hoch (6) = id index M

Das ist aber mehr ein Schuss ins blaue von mir... Aber ich weiß komplettlösungen gibts hier nicht, also versuch ich es wenigsten mal...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist korrekt. Begründe es damit das 1 und 2 niemals auf 3,4,5 abgebildet werden und umgekehrt. (In der Gruppentheorie wirst du das dann einen Zykel nennen smile .)
Also verhalten die beiden sich unabhängig von einnander. Das erste mal das sie also zusammen id ergeben ist beim kgV der einzelnen Längen.
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

Wow! Bulls eye! :-)

Saugut! Aber gibt es dafür nicht einen einfacheren Weg diesen Wert festzustellen?
Ich kann mir vorstellen das es sicher kompliziertere Tabellen gibt und die ganzen Abbildungen immer durchzuspielen nimmt auch sehr viel Zeit in Anspruch...

Und danke an alle Poster! Ich liebe dieses Board!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja den einfacheren Weg hab ich ja bereits in meinem ersten Post gezeigt.
Du hast

1 2 3 4 5
2 1 4 5 3

bzw. anders aufgeschrieben:
(12)(345)

Die Tabelle
1 2 3 4
3 4 1 2

wäre dann (13)(24).
Das nennt man die Zykelschreibweise.

Die Ordnung ist jetzt einfach das kgV der Längen smile
Merlett Auf diesen Beitrag antworten »

also die erste länge ist immer die, bei der ein wert wieder auf denselben abgebildet wird und der rest kommt dann in die zweite klammer. Von den beiden längen dann das kleinste gemeinsame Vielfache ist die Lösung?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt der Rest. Es kann auch 3 Klammern geben usw.
Beispielsweise:
1 2 3 4 5 6
3 5 1 6 2 4
hätte 3 Zykel. Die Länge hast du aber korrekt genannt.
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