Skalarprodukt definiert durch Integral

18.01.2008, 14:51

hxh

Skalarprodukt definiert durch Integral

$\begin{eqnarray*} X:= C ([a,b],\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ ( das C soll für die stetigen Funktionen von [a,b] nach R sein aber konnte den code nicht finden)
Zeigen sie , dass X ein Skalarprodukt definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle := \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Versteh nicht so genau wie ich das zeigen soll bzw was genau.

$\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle = ||fg||² \end{eqnarray*}$ aber bringt mich das weiter.

Welches ist die von $\begin{eqnarray*} \langle .,. \rangle \end{eqnarray*}$ induzierte Norm auf X? Geben Sie explizit die Dreiecksungleichung und
die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an.

Hier weiß ich auch nicht genau was sie von mir wollen.

Kann mir das vielleicht jemand erklären was ich machen soll ?

18.01.2008, 14:56

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt definiert durch Integral

Zitat:

Original von hxh
Versteh nicht so genau wie ich das zeigen soll bzw was genau.

Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, die gewisse Eigenschaften erfüllt. Genau diese Eigenschaften mußt du nachweisen.

18.01.2008, 14:58

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Zitat:

Original von hxh
Zeigen sie , dass X ein Skalarprodukt definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle := \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Versteh nicht so genau

Ich auch nicht, furchtbares Deutsch! Ist nicht eher

Zitat:

Zeigen sie , dass die durch

$\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle := \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

definierte Verknüpfung ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist.

gemeint?

18.01.2008, 15:01

hxh

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Also das Skalarprodukt von f und g ergibt eine Fläche , die kann man auch durch das Integral definieren?

Muss ich dann doch die Fälle anschaun wenn das Skalarprodukt 0 ist, also wenn die beiden Funktionen Orthogonal zueinander sind und wenn das Skalarprodukt ungleich null ist ?

@ Arthur Dent

1. so stands wortwörtlich auf dem Blatt O.o

2. Ja

18.01.2008, 15:04

tmo

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beweise für die abbildung folgende 3 eigenschaften: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Allgemeine_Definition

und zu der orthogonalität von funktionen: du darfst die orthogonalität, die durch ein skalarprodukt definiert wird, nicht mit der der orthogonalität von 2 graphen, die sich z.b. irgendwo senkrecht schneiden, verwechseln.

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