Kreuzen zweier Flugbahnen

18.01.2008, 15:05

Klaudia

Kreuzen zweier Flugbahnen

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Zwei Flugzeuge F1 und F2 fliegen jeweils mit konstanter Geschwindingkeit auf geradem Kurs über eine flache Landschaft. Diese Landschaft wird in einem Koordinatensystem als x1-x2-Ebene beschrieben.
F1 befindet sich zur Zeit t=0 im Punkt P(0/0/1), zur Zeit t=1 im Punkt Q(0/8/5).
Zu den entsprechenden Zeiten befindet sich F2 in R (0/0/4) bzw. in S(-1/5/6).
(Koordinatenangaben in km, Zeitangeben in Minuten)

a) Bestimmen Sie je eine Gleichung der Geraden g und h, welche die Flugbahnen der beiden Flugzeuge beschreibt.
Zeigen Sie, dass sich die beiden Flugbahnen nicht schneiden.
Berechnen Sie den Abstand der Flugbahnen.

Meine Lösung:

g: X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h: X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich beide Geraden gleichgesetzt und schließlich für r und s 0 herausbekommen. Somit schneiden sich die Geraden nicht.

g und h sind zueinander windschief

http://www.krgho.de/Gleichungen/web/grafik/w11.gif
Ich habe dies folgendermaßen gerechnet:

PA*AB=0
QB*AB=0

(P ist ein Punkt auf g, Q ist ein Punkt auf h; AB ist die Gerade, die die beiden windschiefen verbindet.)
.....Zum Schluss habe ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ als Abstand herausbekommen.

Stimmt dies??

b) Hier komme ich nichtweiter:
In welchem Punkt befindet sich F1 zu diesem Zeitpunkt?
Wie weit ist F1 zu diesem Zeitpunkt von der Flugbahn von F2 entfernt?
Welchen Abstand haben die beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt?
Wann befinden sich F1 und F2 auf gleicher Höhe?

c) Zu welchem Zeipunkt sind sich die beiden Flugzeuge am nächesten?
Wie nahe sind sie sich zu diesem Zeitpunkt?

Ich danke schon im Vorraus!

18.01.2008, 16:08

mYthos

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a)

r und s sind nicht Null; vielmehr hat das System, welches für r, s aufgestellt wurde, keine Lösung! Somit sind die beiden Geraden windschief, ja. Der kürzeste Abstand ist $\begin{eqnarray*} \sqrt6 \end{eqnarray*}$ , das stimmt!

b)

Von welchem Zeitpunkt ist die Rede? Das geht aus deinem Text nicht eindeutig hervor!

c)

Der Abstand der beiden Flugzeuge ist als Funktion der Zeit t aufzustellen. Da die Richtungsvektoren in den Gleichungen der beiden Flugbahnen (zufällig) jeweils die Lage nach 1 Minute angeben, können wir die beiden Parameter r und s mit der zu suchenden Zeit t (in Minuten) belegen. Somit ist

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \vec{X_1}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \ \ \vec{X_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme nun den Betrag des Abstandes $\begin{eqnarray*} \overline{X_1X_2} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von t und minimiere diesen. Dazu kannst du auch vom Quadrat dieses Abstandes den Extremwert berechen, damit du nicht die Wurzel ableiten musst.

mY+

18.01.2008, 18:40

Klaudia

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Analytische Geometrie
Entschuldigung!
Ich habe bei b) den ersten Satz vergessen:
Wann erreicht F1 die Höhe 1,8 cm?

Zu c): Wie soll ich den Abstand in Abhängigkeit von t bestimmen?
Ich verstehe nicht ganz, wie ich es machen soll.

18.01.2008, 19:21

mYthos

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Titel geändert! -> Kreuzen zweier Flugbahnen
Wie lautet allgemein der Differenzvektor* der beiden Punkte X1 auf g bzw. X2 auf h? Von diesem bildest du den Betrag (die Länge), das ist ein Ausdruck in t, also eine Funktion in t. Daraus ist der Extremwert zu berechnen, jenes t, für welches die Distanz X1X2 minimal wird.

*)
Der Vektor von einem Punkt A zu einem Punkt B ist die Differenz der Ortsvektoren zu B und A

b)
Die Höhe wird wohl kaum 1,8 cm sein, sicher eher 1,8 km.
Die Höhe über Grund ist der Abstand x3 von der x1-x2 - Ebene. Du wirst also auf der Geraden g jenen Punkt suchen müssen, bei welchem x3 = 1,8 km ist.

18.01.2008, 20:30

Klaudia

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Kreuzen zweier Flugbahnen
Zur Aufg. c)

Der Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t ist:

d(t)= $\begin{eqnarray*} \mid \vec{x 1} -\vec{x 2} \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t* \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - t*\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\mid \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ 8t-5t \\ 1+4t-4-2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ 3t \\ 2t-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{t²+(3t)²+(2t-3)²} \end{eqnarray*}$

GTR: Minimum von d(t): Min(0,429/2,535)

Nach ungefähr 0,43 Minuten sind sich die beiden Flugzeuge am nächsten. Ihr Abstand beträgt etwa 2,54km.

Stimmt dies?
Mit b) komme ich leider noch nicht weiter.

18.01.2008, 22:26

mYthos

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Ja, das stimmt alles, gut gemacht! Das Minimum jedoch bitte nicht mit dem GTR, sondern manuell berechnen! Dann auch mit der 2. Ableitung auf Existenz des Minimums prüfen!

Zu b)

x3 = 1,8

Das setzt du in der dritten Zeile der Geradengleichung von g ein und kannst dann das zugehörige t berechnen ...

1,8 = 1 + 4t
...

hast das t, dann doch den ganzen Punkt. Mit demselben t auch den Ort von F2 bestimmen. Deren Abstand ist dann kein Problem.

Abstand des F1 von der Flugbahn des F2: Durch F1 Normaleben auf h (Flugbahn von F2), mit h schneiden, Distanz dieses Schnittpunktes und F1 ist der gesuchte Abstand.

F1, F2 auf gleicher Höhe: Dazu setzt du die dritten Zeilen beider Geradengleichungen gleich (x3 muss gleich sein), kriegst damit wieder ein t, welches du in beide Geradengleichungen zurückeinsetzen kannst, wiederum kommen zwei Punkte.

mY+

19.01.2008, 00:47

Klaudia

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Kreuzen zweier Flugbahnen
Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir noch die Aufgaben zu b) korrigieren könnten:

x3=1,8
1,8= 1+4t
t=0,2

F1 erreicht die Höhe von 1,8 km nach 0,2 Minuten.
Zu diesem Zeitpunkt befindet sich F1 im Punkt P $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1,6 \\ 1,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -0,2 \\ 1 \\ 0,4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -0,2 \\ 1 \\ 4,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =L

PL $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 \\ -0,6 \\ 2,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d= $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,04+0,36+6,76} \end{eqnarray*}$ =2,68

Zu diesem Zeitpunkt ist F1 2,68 km von F2 entfernt.

P $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1,6 \\ 1,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Fußpunkt F (-t/5t/4+2t)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -t \\ 5t-1,6 \\ 2t-2,2 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
t+2,5t-8+4t-4,4=0
30t=12,4
150t= 62
t= $\begin{eqnarray*} \frac{62}{150}= \frac{31}{75} \end{eqnarray*}$

F $\begin{eqnarray*} (\frac{-31}{75}/ \frac{31}{15}/ \frac{362}{75}) \end{eqnarray*}$

d= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{31}{75})²+ (\frac{31}{15})²+ (\frac{362}{75})² } = 5,27 \end{eqnarray*}$
Die beiden Flugzeuge haben zu diesem Zeitpunkt einen Abstand von 5,27km.

Vielen Dank!

19.01.2008, 02:00

mYthos

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t = 0,2 stimmt, 0,2 Minuten = 12 Sekunden.
Der Abstand der Punkte F1F2 passt auch.

Bei dem Abstand F1 von Flugbahn F2 hast du einen Vorzeichenfehler, und zwar vor dem 2,2 gehört ein PLUS:

Zitat:

...
P $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1,6 \\ 1,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Fußpunkt F (-t/5t/4+2t)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -t \\ 5t-1,6 \\ 2t-2,2 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
t+2,5t-8+4t-4,4=0
30t=12,4
150t= 62
...

Richtig ist - wegen -> 4 + 2t - 1,8 = 2t + 2,2 :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -t \\ 5t-1,6 \\ 2t+2,2 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

t+2,5t-8+4t+4,4=0
30t=3,6
10t=1,2
t= 0,12

F(-0,12; 0,6; 4,24)

d= ... = 2,64 km

------------------------------------------

Und - hat die Frage nach der gleichen Höhe geklappt ?

mY+

19.01.2008, 11:46

Klaudia

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Kreuzen zweier Flugbahnen
Zu der Frage: Wan befinden sich F1 und F2 auf gleicher Höhe?

g: x3= 1+4t h: x3=4+2t

1+4t=4+2t
2t=3
t=3/2
F1 und F2 befinden sich nach 1,5 Minuten auf gleicher Höhe.
F1 und F2 befinden sich auf gleicher Höhe, wenn isch F1 im Punkt R $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und F2 im Punkt S $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1,5 \\ 7,5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ befindet.

Stimmt dies?

19.01.2008, 13:19

mYthos

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So ist es.

mY+

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Kreuzen zweier Flugbahnen

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