Erwartungswert Binomialverteilung

18.01.2008, 18:11

Soho

Erwartungswert Binomialverteilung

Hallo,

ich muss die Herleitung des Erwartungswerts der Binomialverteilung erklären können. Kann mir da jemand helfen?

Weiß ja, dass E(X)= np ist, aber wie komme ich da drauf? verwirrt

Danke

18.01.2008, 18:27

therisen

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Indem du $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k\cdot{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

18.01.2008, 18:58

Dual Space

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Zitat:

Original von therisen
Indem du $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k\cdot{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

... und erklärst, warum man sich genau diese Summe dafür hernimmst.

18.01.2008, 19:25

Soho

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Ja, das hab ich auch bei Wikipedia gelesen, aber ich versteh nicht warum das ganze kmal gemacht wird.
Und die ganzen Indexverschiebungen versteh ich auch nicht.

18.01.2008, 19:26

therisen

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Das ist einfach nur die Definition des Erwartungswertes für eine diskrete Zufallsvariable (mit einer Zähldichte). Sagen dir diese Begriffe etwas?

18.01.2008, 19:32

Soho

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Ja, die Definition steht auch in meinem Skript.
Aber kannst du mir sagen, warum ich diese ganzen Veränderungen im Index machen muss? Die Rechenschritte hab ich im Großen jetzt verstanden. Bezieh mich dabei auf den Beweis bei Wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Beweis

Hier der Link

Danke für eure Hilfe

18.01.2008, 20:50

Soho

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Also,

hab mich jetzt ein wenig weiter durchgeboxt und auch bis auf einen Schritt wirklich alles verstanden. Nur zum Ende hin hapert es bei mir, vll könnt ihr mir da kurz nochmal helfen

$\begin{eqnarray*} np\sum_{k=1}^n~ \frac{n-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{n-1-(k-1)} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} np\sum_{k=0}^n~\frac{n-1}{k} p^{k} (1-p)^{n-1-k} \end{eqnarray*}$

(natürlich nicht als Bruch, wusste nicht, wie ich n ÜBER k bei Latex mach und über dem 2. Summenzeichen steht n-1) Hammer

Warum wird da noch ienmal der Index verändert und warum steht anstatt k-1 überall k? wäre über eine Antwort sehr dankbar

Liebste Grüße Soho

18.01.2008, 22:46

therisen

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Du meinst also diese Umformung?

$\begin{eqnarray*} np\sum_{k=1}^{n} {{n-1} \choose {k-1}}p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)} = np\sum_{k=0}^{n-1} {{n-1} \choose {k}}p^{k} (1-p)^{(n-1)-k} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ laufen soll, sondern von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ , muss man eben innerhalb der Summe jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Wo ist da das Problem?

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