Bild einer Funktion im Komplexen

18.01.2008, 18:24

flo_rian

Bild einer Funktion im Komplexen

Hi Ihr,

ich habe eine Funtktion f gegeben, die in der komplexen oberen Halbebene ohne reelle Achse lebt.

f: z -> 1/(1+z)

Es wird nun verlangt, das Bild dieser Funktion in dieser oberen Halbebene ohne die reelle Achse zu beschreiben.

Mein Ansatz ist der folgende:

ich weiß, dass durch g: z -> 1/z eine Spiegelung am Einheitskreis beschrieben wird. Wird dann durch meine Funktion f eine Spiegelung am Einheitskreis, um 1 nach links verschoben, beschrieben?

lg flo_rian Tanzen

18.01.2008, 18:50

system-agent

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Was stellt sich euer Prof denn genau unter "beschreiben" vor?
Man kann zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Real und Imaginärteil aufspalten (also $\begin{eqnarray*} f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$ bestimmen, mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ) und dann Bildchen malen, was die Funktion mit achsenparallelen Geraden darstellt...

Zum anderen kann man sehen, dass dies eine gebrochenrationale Funktion mit der regulären Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann kann man schon schreiben dass sie Kreise auf Kreise abbildet...

Edit:
Im Anhang ein kleines Bildchen, was die Funktion mit der oberen Halbebene für $\begin{eqnarray*} -5\leq Re(z)\leq5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq Im(z)\leq10 \end{eqnarray*}$ anstellt

18.01.2008, 19:56

flo_rian

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thx für die mühe, dann muss ich mal einen tutor fragen, was "beschreiben" sein soll :-)

18.01.2008, 22:47

Mathespezialschüler

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Liegt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der obere Halbebene ohne reelle Achse, dann auch $\begin{eqnarray*} 1+z \end{eqnarray*}$ . Wo liegt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z} \end{eqnarray*}$ , was ja das multiplikative Inverse zu $\begin{eqnarray*} 1+z \end{eqnarray*}$ ist. Ist die Funktion bzgl. dieses Bereiches auch surjektiv?
Das Ganze sollte man dann natürlich noch auf eine rechnerische Grundlage stellen ohne geometrische oder ähnliche Argumentationen.

edit: Sorry, vergesst, was ich erzählt habe. Ist zwar nichts falsches dabei, aber das, worauf ich damit hinaus wollte, simmt leider nich.

18.01.2008, 23:03

system-agent

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Meintest du den Satz, dass $\begin{eqnarray*} SL_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ operiert?

18.01.2008, 23:22

Mathespezialschüler

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Nein, ich kenne diesen Satz ja nicht einmal. Wie gesagt: Ignoriert meinen Beitrag. Ich hab mich in elementaren Sachen einfach zu blöd angestellt. Augenzwinkern

18.01.2008, 23:43

WebFritzi

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Naja, was ihr natürlich alle wisst (wollt's nur mal explizit schreiben): Das Bild ist die gesamte untere Halbebene.

18.01.2008, 23:53

Mathespezialschüler

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Jo, stimmt "natürlich". Hm dann hab ich mich doppelt zu dumm angestellt ... Es ist ja auch schon spät. *gg*
So muss mein Beitrag ja doch nicht ignoriert werden. *grml*

18.01.2008, 23:56

WebFritzi

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lol, Ich dachte, das war gerade das, was du uns durch die Blume mitteilen wolltest. Augenzwinkern

19.01.2008, 07:58

Leopold

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Und dann gebe ich auch noch meinen Senf dazu, während ihr alle noch süß im Schlummer liegt ... nghrrrr... nghrrrr... nghrrr...

$\begin{eqnarray*} z \mapsto z+1 \mapsto \frac{z+1}{|z+1|^2} \mapsto \frac{\bar{z}+1}{|z+1|^2} = \frac{1}{z+1} \end{eqnarray*}$

1. Verschieben der oberen Halbebene um 1 nach rechts: $\begin{eqnarray*} \tau(z) = z+1 \end{eqnarray*}$
2. Spiegeln am Einheitskreis: $\begin{eqnarray*} \vartheta(z) = \frac{z}{|z|^2} \end{eqnarray*}$
3. Spiegeln an der reellen Achse: $\begin{eqnarray*} \sigma(z) = \bar{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f = \sigma \circ \vartheta \circ \tau \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Schritte erhalten die obere Halbebene, der dritte führt sie in die untere Halbebene über.

19.01.2008, 13:11

flo_rian

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@ all: danke für eure Mühen =)

@ Leopold: verstehe Deine Erklärung bis auf den einen Punkt:

warum stellt theta eine Spiegelung am Einheitskreis dar, ich dachte immer, das sei z -> 1/z

19.01.2008, 13:15

WebFritzi

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Gern geschehen. Augenzwinkern

19.01.2008, 13:34

Leopold

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Zitat:

Original von flo_rian
@ Leopold: verstehe Deine Erklärung bis auf den einen Punkt:

warum stellt theta eine Spiegelung am Einheitskreis dar, ich dachte immer, das sei z -> 1/z

Es könnte schon sein, daß $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ in der Vorlesung in verkürzter Darstellung als Spiegelung am Einheitskreis bezeichnet wurde. Ganz korrekt ist das allerdings nicht. In der Geometrie wird eine Kreisspiegelung nämlich so durchgeführt: Sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Mittelpunkt bzw. Radius des Kreises, an dem gespiegelt wird, so bestimmt man den Bildpunkt $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ eines Punktes $\begin{eqnarray*} X \neq M \end{eqnarray*}$ durch die Bedingungen

(1) $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ liegt auf der Halbgeraden von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

(2) Für die Längen $\begin{eqnarray*} \overline{MX}, \overline{MX'} \end{eqnarray*}$ der Strecken gilt: $\begin{eqnarray*} \overline{MX} \cdot \overline{MX'} = r^2 \end{eqnarray*}$

In diesem Sinne ist $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{z}{|z|^2} \end{eqnarray*}$ die Spiegelung am Einheitskreis. Für die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ ist dann noch zusätzlich eine Spiegelung an der reellen Achse durchzuführen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \overline{\left( \frac{z}{|z|^2} \right)} \end{eqnarray*}$

19.01.2008, 14:14

WebFritzi

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@flo: Danke. Augenzwinkern

Und: 1/i = -i

19.01.2008, 17:52

flo_rian

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Hei Ihr alle,

wart eine riesen Hilfe, es ist nun alles klar =)

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