lineare Abbildungen ja oder nein?

18.01.2008, 21:12	hasesh	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildungen ja oder nein? Sind die unten definerten Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ : V -> W K-linear? Kann ich dasnicht einfach sehen? Fehlt mir Problembewusstsein? Freue mich über Hinweise! Ich habe 1. K beliebiger Körper. V = M ( 3 x 2, K), W = M (3 x 3), $\begin{eqnarray} \phi : X -> X A \end{eqnarray}$ für festes A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M (2 x 3, R) Es handelt sich um eine lineare Abbildung. 2. K=R, V=W = Abb(R,R), $\begin{eqnarray} \phi(f) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} xf(x^2 -1) \end{eqnarray}$ für f $\begin{eqnarray} \in V \end{eqnarray}$ , x $\begin{eqnarray} \in K \end{eqnarray}$ . Allein $\begin{eqnarray} x^2 - 1 \end{eqnarray}$ ist schon keine lineare Abbildung, oder? 3. K = R, V = $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ , W= R, $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ : ( $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray}$ ) -> $\begin{eqnarray} 1 + 2x_2 + 3x_3 \end{eqnarray}$ Es handelt sich um eine lineare Abbildung. 4. $\begin{eqnarray} K = Z_2, V=W = Z_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi : x -> x^2 \end{eqnarray}$ Nein. 5. K = Q, V=W=Q, $\begin{eqnarray} \phi : x -> 3x \end{eqnarray}$ Es handelt sich um eine lineare Abbildung.
18.01.2008, 21:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1. ja das ist richtig. zu 2. es geht hier um abbildungen zwischen funktionenräumen. nicht um abbildungen auf den reellen zahlen (funktionen). prüfe also mal die bedinungen für eine lineare abbildung zu 3. worauf wird der nullvektor abgebildet? zu 4. richtig zu 5. richtig
18.01.2008, 21:32	hasesh	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! zu 3. der nullvektor wird auf 1 abgebildet. also keine lineare abbildung...
18.01.2008, 21:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es richtig. und was sagst du zur 2?
18.01.2008, 21:46	hasesh	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich probiers mal... Addition $\begin{eqnarray} \phi(v1+v2) = \phi(v1) + \phi(v2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(f(x_1)) = x_1f(x_{1}^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(f(x_2)) = x_2f(x_{2}^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(f(x_1+x_2)) = (x_1+x_2)f((x_{1} + x_{2})^2 -1) \end{eqnarray*}$ das kommt schon mal nicht hin, oder? => also keine lineare abbildung.
18.01.2008, 21:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist falsch. deine vektoren sind in diesem fall doch funktionen. also z.b. $\begin{eqnarray} \phi(f)+\phi(g) = x \cdot f(x^2-1) + x \cdot g(x^2-1)= ... \end{eqnarray}$
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18.01.2008, 23:16	hasesh	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also Addition $\begin{eqnarray} \phi(f) = x f(x^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(g) = x* g(x^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(f+g) = x* (f(x^2 -1)+g(x^2-1)) \end{eqnarray}$ erfüllt. Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray} \phi(cf) = c\phi(f) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(cf) = cx* f((x^2 -1) \end{eqnarray*}$ erfüllt. => lineare Abbildung.

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