Aufgabe zu Bernoulli-Ketten

21.06.2005, 00:05

therisen

Aufgabe zu Bernoulli-Ketten

Hi,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Zitat:

Auf einer Straße kommen Lastwagen und Personenautos in regelloser Folge hintereinander. Die W., dass in einem beliebigen Augenblick gerade ein Lastauto vorbeifährt, sei p. Ich beginne in einem beliebigen Augenblick, Autos zu zählen. Wie groß ist die W. dafür, dass in einer Gruppe von 5 Autos mindestens einmal genau 2 Lastautos hintereinander fahren?

Hierbei sind folgende Anordnungen günstig:

L...LKW
P...PKW
?...Beliebig

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline L & L & P & ? & ? \\\hline P & L & L & P & ? \\\hline ? & P & L & L & P \\\hline ? & ? & P & L & L \\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

In der Schule sind wir auf $\begin{eqnarray*} P=4p^2q^3+6p^3q^2+p^4q=4p^2-6p^3+p^4+p^5 \end{eqnarray*}$ gekommen.

Eben bin ich die Aufgabe noch einmal durchgegangen und auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{rrrrr|r|} & & & & & Wahrscheinlichkeit \\ L & L & P & ? & ? & $p^2q$ \\\hline P & L & L & P & ? & $p^2q^2$ \\\hline ? & P & L & L & P & $p^2q^2$ \\\hline ? & ? & P & L & L & $p^2q$ \\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt dann: $\begin{eqnarray*} P=2p^2q+2p^2q^2=4\,{p}^{2}-6\,{p}^{3}+2\,{p}^{4} \end{eqnarray*}$

Die beiden Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich also um ein $\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$ bzw. ein $\begin{eqnarray*} p^5 \end{eqnarray*}$ .

Welche Lösung ist richtig bzw. wo liegt mein Fehler?

Gruß, therisen

21.06.2005, 00:43

JochenX

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ich blicke da noch nicht ganz durch, wie ihr da in der schule drauf gekommen seid (edit: klar smile

), aber ganz wichtige frage:
habt ihr beachtet, das LLP?? und ??PLL nicht disjunkt sind!?

21.06.2005, 10:39

therisen

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Stimmt, ich glaube in der Schule haben wir beachtet, dass sie nicht disjunkt sind. Da hab ich den Baum ein wenig zu früh gestutzt *g*

Dann muss ich eben ein wenig feiner untergliedern:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}\hline & & & & & W.keit & & & & & & & \\\hline L & L & P & P & P & $p^2q^3$ & & P & P & P & L & L & $p^2q^3$ \\\hline L & L & P & L & P & $p^3q^2$ & & P & L & P & L & L & $p^3q^2$ \\\hline L & L & P & P & L & $p^3q^2$ & & L & P & P & L & L & $p^3q^2$ \\\hline L & L & P & L & L & $p^4q$ & & L & L & P & L & L & $p^4q$ \\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht ist der letzte Fall doppelt.

Also ist $\begin{eqnarray*} P=2\,{p}^{2}{q}^{2}+2\,{p}^{2}{q}^{3}+4\,{p}^{3}{q}^{2}+{p}^{4}q=2\,{p}^{2} \left( 1-p \right) ^{2}+2\,{p}^{2} \left( 1-p \right) ^{3}+4\,{p}^{3} \left( 1-p \right) ^{2}+{p}^{4} \left( 1-p \right)=4\,{p}^{2}-6\,{p}^{3}+{p}^{4}+{p}^{5} \end{eqnarray*}$

Danke LOED Prost

, das hab ich zu so später Stunde übersehen Hammer

Gruß, therisen

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